Si dos matrices están conectadas por un camino, también lo están sus inversas

Question

El conjunto de $n\times n$ Las matrices pueden identificarse con el espacio $\mathbb{R}^{n\times n}$ .

Dejemos que $G \le GL_n(\mathbb{R})$ .

Decimos que $A \in G$ y $B \in G$ están conectadas por un camino (no sé si es el término correcto) en $G$ si hay un camino continuo $\alpha:[0,1]\to \mathbb{R}^{n\times n}$ tal que $\alpha(0)=A$ , $\alpha(1)=B$ y $\alpha(t)\in G \forall t\in[0,1]$ .

Quiero demostrar que si $A$ y $B$ están conectadas por un camino en $G$ Así que son $A^{-1}$ y $B^{-1}$ .

Aquí está mi prueba:

Así que definamos $\beta:[0,1]\to \mathbb{R}^{n\times n}$ por $$\beta(t)=(\alpha(t))^{-1}$$

Entonces $\beta(0)=A^{-1}$ , $\beta(1)=B^{-1}$ y $\beta(t)\in G \forall t\in[0,1]$ .

Así que sólo tenemos que demostrar que $\beta$ es continua.

Me he dado cuenta de que $$\beta(t+\delta)-\beta(t)=\beta(t+\delta)\left[\alpha(t)-\alpha(t+\delta)\right]\beta(t)$$ (Ecuación 1)

Ahora bien, este es el paso en el que no estoy seguro.

Si puedo entonces escribir $$||\beta(t+\delta)-\beta(t)||\le||\beta(t+\delta)||||\alpha(t)-\alpha(t+\delta)||||\beta(t)||$$ (Ecuación 2)

Entonces dejemos que $$M=\sup_{t\in[0,1]}||\beta(t)||$$ y luego $\forall \epsilon$ porque $\alpha$ es continua, $\exists \delta$ s.t. $$||\alpha(t+\delta)-\alpha(t)||<\frac{\epsilon}{M^2}$$ y por lo tanto $$||\beta(t+\delta)-\beta(t)||<\epsilon$$ y está hecho.

¿Alguien puede decirme cómo pasar de la Ec. 1 a la Ec. 2? ¿Algún otro error en mi prueba?

Answer 1

Su prueba me parece bien, aunque yo consideraría en su lugar el camino $\gamma(t)=B^{-1}\alpha(t)A^{-1}$ que se ve un poco más limpio. De todos modos, para pasar de la ec. 1 a la ec. 2, basta con tomar cualquier submultiplicativo normas matriciales en ambos lados, como la norma del operador $\|A\|_2=\max_{\|x\|_2=1}\|Ax\|_2$ o la norma de Frobenius $\|A\|_F=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{tr}(A^TA)}$ .