¿Por qué es$f(4)$ el área debajo de$f'(x)$ específicamente de$0$ a$4$ y no para ex de$1$ a$4$ o$2$ a $4$?

Question

He visto el geométrica argumento de por qué cualquier función derivable $f(x)$ da la tasa de cambio de la zona bajo su propia curva de a $x$ para una entrada específica $x$, y tiene sentido para mí.

También tiene sentido que si $f(x)$ da $\frac{dA}{dx}$,$F(x)$, su antiderivada, debe darle el área bajo la curva de $f(x)$.

Lo que no entiendo, sin embargo, es por qué no $F(x)$ darle el área de $\textbf{0}$ específicamente a $x$ dado una sola entrada de $x$? En otras palabras, ¿de dónde viene ese $0$?

Debido a $f(x)$ da $\frac{dA}{dx}$$x$, independientemente de cuánto zona viene "antes" (para los pequeños valores de $x$).

¿Cómo decidimos que $F(x)$ comienza calcular el área bajo la curva de $f(x)$ $0$ y no algún otro punto de partida? Obviamente, es muy conveniente, pero parece bastante arbitrario para mí.

Answer 1

Obviamente, es muy conveniente, pero parece bastante arbitrario para mí.

La gente elige $F(x)$ a inicio de $0$ porque es conveniente. No hay ninguna razón por la zona de inicio de $0$ aparte de que a la gente le gusta definir a $F(x)=\int_0^x f(x) \ dx$. Sin embargo, $F(x)$ puede ser cualquier cosa, siempre como $F'(x)=f(x)$ y por el Teorema Fundamental del Cálculo, todos los $F(x)$ difieren por una constante. Esto significa que usted podría también utilizar $G(x)=\int_1^x f(x) \ dx=F(x)-F(1)$, que se inicia a partir de $1$ en lugar de $0$. Debido al Teorema Fundamental del Cálculo, en realidad, usted puede hacer $F(x)$ comenzar a calcular el área de cualquier valor que desee desde todos $F(x)$ tendrá un derivado de la $f(x)$.

Sin embargo, esto puede ser un problema para las funciones donde este se convertiría en una integral impropia, como $f(x)=\frac 1 x$. En la mayoría de los casos, la mayoría de la gente probablemente sólo vamos a $F(x)=\ln x$ debido a que es la forma más sencilla de expresar la integral indefinida, pero esta función no empezar a dar el área de $0$ porque $F(0)$ es indefinido. Hay otros casos como este, también, así que asegúrese de que usted no acaba de asumir que $F(x)$ comienza calcular el área de$0$, debido a que no siempre es cierto. Si usted siempre se pega con la identidad de $\int f(x) \ dx=F(x)\bf{+C}$$\int_a^b f(x) \ dx=F(b)\bf{-F(a)}$, incluso cuando se $a=F(a)=0$, siempre va a evitar el error de asunción.

Answer 2

Es simplemente $$ A = \ int \ limits_a ^ bf (x) dx = F (b) - F (a) $$ si$f$ no es negativo en$[a,b]$ y$F' = f$.

El caso que menciona parece ser un caso especial con$F(a) = 0$, que no debe ser cierto en general.

Answer 3

Depende de la función que está utilizando. Mirando una función arbitraria, se puede ver que podemos mover hacia arriba o hacia abajo cambiando su integral, pero el mantenimiento de la derivada constante, ya que la pendiente no cambia. La primitiva es sólo la función de $F(x)$ que cuando se toma la derivada producirá la principal función de $f(x)$ sin ningún tipo de condiciones que no contribuyen a $f(x)$, estos términos sólo mover la integral hacia arriba o hacia abajo sin que afecte a la derivada. Esto significa que la antiderivada de una función es la integral en el que la constante de integración es $0$. Para muchas funciones, esto significa que el punto inicial de la integral que define la antiderivada es $x=0$. Por ejemplo:

$$\int_{a}^{x}x^2dx=\frac{x^3}{3}-\frac{a^3}{3}$$

El segundo término es una constante, y no contribuye a la derivada, por lo que debe ser cero para esta integral para definir una antiderivada, y que los rendimientos de $a=0$ para la antiderivada.

Otro ejemplo es:

$$\int_{a}^{x}e^{Ax}dx=\frac{e^{Ax}-e^{Aa}}{A}$$

Para la constante es igual a cero, debemos partir de la integral de $-\infty$ en irder para la integral anterior para definir la antiderivada de $e^{Ax}$.

Esto proviene del teorema fundamental en esta forma:

$$\int_{a}^{x}f(x)dx=F(x)-F(a)$$

La antiderivada de que tenemos que buscar para encontrar es, obviamente,$F(x)$, por lo que esto muestra que $F(a)=0$, de modo que la integral de la izquierda representa sólo el $F(x)$.