finitud de un grupo topológico abeliano

Question

Sea A un grupo topológico abeliano (Hausdorff). Supongamos que

(1) el conjunto de sus elementos de torsión, y

(2) un subgrupo finitamente generado

son subconjuntos densos de A.

Mi pregunta : ¿A debe ser finito?

(Esto es claramente cierto si A es discreto o si el subgrupo f.g. es de torsión).

EDITAR. Me interesan más los grupos compactos.

Answer 1

Considere $S^1$ el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto $1$ . Los elementos de torsión son raíces de la unidad, que son densas en $S^1$ . También el subgrupo generado por cualquier elemento no de torsión, digamos $\exp(2\pi it)$ con $t$ irracionales, es denso en $S^1$ .

Por supuesto, $S^1$ es compacta e infinita.