Demostrando un binomio de la suma de la identidad

Question

Mathematica me dice que

$$\sum _{k=0}^n { n \choose k} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$$

Aunque no he sido capaz de llegar con una prueba.

Pruebas, notas, o las referencias son todos bienvenidos.

Answer 1

Usted podría considerar la integral $$ \int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx .$$

Answer 2

Las sumas de la forma $$\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}f(k)$$ a menudo puede ser atacada a través de la Cálculo de las diferencias finitas.

Answer 3

$$S_n=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k \binom{n}{k}}{2k+1}$$

Tenemos:

$$\begin{align}S_n&=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k \binom{n}{k}}{2k+1}\\ &=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}\right]\\ &=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{n(2n+1)}{n-k}.\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}\right]\\ &=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{2n^2-2nk+2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}\right]\\ &=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{2n^2-2nk}{n-k}.\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}\right]\\&+\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[\dfrac{2nk+n}{n-k}.\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}\right]\\ &=\dfrac{(-1)^n}{2n+1}+\dfrac{2n}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{n(-1)^k \binom{n-1}{k}}{n-k}\\ &=\dfrac{2n}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \left[(-1)^k \binom{n}{k}\right]+\dfrac{(-1)^n}{2n+1}\\ &=\dfrac{2n}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k \binom{n-1}{k}}{(2k+1)}+\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{k=0}^n \left[(-1)^k \binom{n}{k}\right]\end{align}$$ Por lo tanto, $$S_n=\dfrac{2n}{2n+1}S_{n-1}+0 \Rightarrow S_{n-1}=\dfrac{2n-2}{2n-1}S_{n-2} ... \Rightarrow S_1=\dfrac{2}{3}S_0$$ y $S_0=1$

Por lo tanto, $$S_n=\dfrac{2n(2n-2)...2}{(2n+1)(2n-1)...3.1}=\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$

Answer 4

Su identidad es un caso especial de la Chu-Vandermonde de identidad.

${}_2 F_1(-n,b;c;1)=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}$

con $b=\frac12$$c=\frac32$. Más info en ella es A=B, como ya se ha mencionado por Juan.

Answer 5

Que no puede ofrecer ayuda específica, pero me gustaría recomendar el pulgar a través de Hormigón Matemáticas buscando técnicas. Tiene muchas sumas que tienen un aspecto similar, aunque, por supuesto, la dificultad está en los detalles.

También existe el libro A=B, pero en Concreto de las Matemáticas se da una introducción al contenido de A=B, y en mi opinión es más fácil de leer, así que me gustaría empezar con el Hormigón de las Matemáticas.