Topología bolas abiertas y conjuntos abiertos

Question

Dejemos que $A\subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto

Demuestra que A puede escribirse como una unión contable de bolas abiertas.

Pensamos que tiene que ver con la creación de una bola con un radio de $r$ ( $r>0$ ) alrededor de cada punto de $A$ que tiene coordenadas racionales. Creemos que es la dirección correcta, pero estamos luchando con la formalidad.

Gracias

Answer 1

Considere el conjunto $S$ de bolas abiertas de $\mathbb R^n$ cuyos centros tienen coordenadas racionales y cuyos radios pertenecen al conjunto $\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb N, \ n\ge 1\}$ . $S$ es contable.

Ahora toma $x \in A$ . Como $A$ está abierto puedes encontrar un balón abierto $B(x,\frac{1}{n_x}) \subset A$ con $n_x \ge 1$ entero . Como $\mathbb Q^n$ es denso en $\mathbb R^n$ es posible encontrar $q_x \in \mathbb Q^n$ con $\Vert x - q_x \Vert < \frac{1}{2n_x}$ . Entonces $x \in B(q_x,\frac{1}{2n_x}) \subset B(x,\frac{1}{n_x}) \subset A$

El conjunto de bolas abiertas $\{B(q_x,\frac{1}{2n_x}) : x \in A\}$ se incluye en $S$ por lo que es contable y la unión de esas bolas abiertas es igual a $A$ .