Euclidiana QFT colector se desvanece para todos los espacio-tiempo de las separaciones?

Question

En el espacio-tiempo de Minkowski, el colector de Klein-Gordon operador de campo con ella misma en diferentes puntos espacio-tiempo se evalúa a la avanzada de menos retraso de la función de Green de la teoría clásica,

\begin{align} [\phi (x),\phi (y)]=\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle =G_A(x-y)-G_R(x-y), \end{align} que se desvanece para spacelike separaciones. [Yo uso la convención de que el K-G funciones de Green se definen por $(\partial^2+m^2)G(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y)$.]

Debido a de la $SO(4)$-isometrías del espacio-tiempo Euclidiano, no es invariante de la noción de tiempo de la dirección y, de hecho, todas las separaciones son spacelike. Por esta razón, sería ingenuo esperar que la distancia Euclídea K-G de la función de Green (que desaparece en el infinito) es única, es decir, no están "avanzadas" o "retrasado" Euclidiana funciones de Green--y el campo colector debe, entonces, se desvanecen para $all$ Euclidiana espacio-tiempo de las separaciones.

Más explícitamente, la distancia Euclídea de 2 puntos en función de como va

\begin{align} \langle 0|\phi (x)\phi(y) |0\rangle=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}, \end{align} de modo que la distancia Euclídea colector es

\begin{align} [\phi (x),\phi(y)]=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\left\{\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}-\frac{e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}\right\}=0, \end{align} donde la última igualdad se sigue del hecho de que el impulso de "volumen" de la medida es invariante bajo $p\to -p$ en el espacio-tiempo Euclidiano.

Es esta conclusión y el razonamiento correcto?

Answer 1

Sí, Euclidiana conmutadores de desaparecer.

Esto es bastante obvio en la ruta integral de formalismo: Se puede calcular la matriz de los elementos del colector de las funciones de correlación: $\langle \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) ... \rangle = \int \phi(x)\phi(y) ... e^{-S(\phi)}d\phi$. La integral sólo implica desplazamientos de las variables, de modo que usted puede cambiar $x$$y$.

La conexión entre Euclidiana funciones de correlación y de Minkowski es ligeramente sutil. La distancia Euclídea funciones de correlación son funciones analíticas de varias variables $x$, $y$, y puede ser extendida a la complejización de un producto Cartesiano de varias copias de espacio Euclidiano. Los correspondientes productos Cartesianos de espacio de Minkowski también están dentro de esta complejización. El Minkowski funciones de correlación son, de hecho, los límites de los valores de la analítica, la extensión de la distancia Euclídea funciones de correlación. Pero que el tiempo de pedidos de Minkowski funciones de correlación puede tener depende de cómo se enfoque el límite.