la suma probabilidad de una secuencia infinita

Question

Caso muy simple, pero no sé cómo probar

dicen que la función $rand$ devuelve un muestreo uniforme de valor en $(0,1)$

$x_0 = 1$

$x_1 = rand * x_0$

$x_2 = rand * x_1$

...

$x_n = rand * x_{n-1}$

Ahora la suma de $S(n) = \sum_{i=0}^n x_i$

Es $\lim_{n\to\infty} S(n)$ finito?

Debe ser, pero ¿cómo ?

Answer 1

Prueba de Croquis: Nos muestran que cada término de la suma puede ser limitada por el correspondiente término de una progresión geométrica - bueno, excepto tal vez para un número finito de ellos.

Prueba: Supongamos $r_1,\ldots,r_n$ ser variables aleatorias que denota las salidas de la rand función. Observar que $r_1,\ldots,r_n$, y para todos los $i$ tenemos $E[r_i]=\frac 1 2$. También, tenemos $x_i = \prod_{1\le j\le i} r_j$ y desde $r_i$'s son independientes, podemos escribir $$E[x_i] = \prod_{1\le j \le i} E[r_j] = \frac 1 {2^i} $$

Para cada una de las $i$, vamos a $E_i$ denotar el caso de $x_i\ge \left(\frac 3 4\right)^i$. Entonces, por la desigualdad de Markov tenemos: \begin{align} \Pr[E_i] = \Pr\left[x_i\ge \left(\frac 3 4\right)^i\right] \le \left(\frac 4 3\right)^i \cdot \frac 1 {2^i} = \left(\frac 2 3\right)^i \end{align}

Así tenemos a $\sum_{n=1}^\infty \Pr[E_n]$ está delimitado por una serie geométrica con razón común $2/3$, y por lo tanto $\sum_{n=1}^\infty \Pr[E_n] <\infty$. Ahora, por el Borel-Cantelli lema, sólo un número finito de $E_n$'s de producirse. Por lo tanto, podemos romper la suma de la siguiente manera:

$$S_n = \sum_{i: E_i\mbox{ occurs}} x_i + \sum_{i: E_i\mbox{ does not occur}} x_i,$$

donde la primera suma es finita, y la segunda suma es upperbounded por una serie geométrica con razón común $3/4$. Este rendimientos $\lim_{n\rightarrow \infty} S_n <\infty$.

Answer 2

La secuencia de $S(n)$ aumenta a $S$, y por la convergencia monótona $$\mathbb{E}(S)=\lim_n\, \mathbb{E}(S(n))=\lim_n\,\sum_{i=0}^n \mathbb{E}(x_i)=\lim_n\,\sum_{i=0}^n \left({1\over 2}\right)^i=2<\infty.$$ Por lo tanto,$\mathbb{P}(S<\infty)=1$.