Condiciones suficientes para el conjunto de la normalidad?

Question

Supongamos que tengo $n$ variables aleatorias $X_1,...,X_n$ tal que $X_1 \sim \mathcal{N}(0,1)$ y los incrementos de $X_i - X_{i-1} \sim \mathcal{N}(0,s)$ son independientes. Son estas las condiciones suficientes para concluir el vector $\textbf{X} = (X_1,...,X_n)$ es un multivariante de Gauss? Si es así, ¿cuál es la matriz de covarianza?

Answer 1

Su hipótesis (además de la suposición de que el primer valor es independiente de todos los incrementos) cantidad de asumir que $\mathbf{A}\mathbf{x} \sim \text{Normal}_n(\mathbf{0},\mathbf{\Sigma})$, donde

1. $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \end{array}\right]$

2. $\mathbf{x} = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]$

3. $\mathbf{\Sigma} = \text{diag}(1,s,\ldots,s)$

Esto significa $$ \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{x} \sim \text{Normal}(\mathbf{0},\mathbf{A}^{-1}\mathbf{\Sigma}(\mathbf{A}^{-1})^T ), $$ donde $\mathbf{A}^{-1} = \left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}\right]$.