Demuestre que lo siguiente es cierto para $\phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}), \phi \ne 0$

Question

Fijar una función $ \phi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}), \phi \ne 0$ y establecer $u_n(x)=\phi(x+n)$ . Dejemos que $1 \le p \le \infty$ . Entonces

1. Compruebe que $u_n$ está acotado en $W^{1,p}(\mathbb{R})$

2. Demostrar que no existe ninguna subsecuencia $(u_{n_{k}})$ convergiendo fuertemente en $L^{q}(\mathbb{R})$ para cualquier $1 \le q \le \infty$

3. Demostrar que $u_n \rightharpoonup 0$ débilmente en $W^{1,p}(\mathbb{R}), \forall p \in (1,\infty)$

La anterior es una pregunta del libro de Brezis sobre los espacios de Sobolev. La primera pregunta es fácil de resolver. La segunda no pude hacerla. Para la tercera, el espacio dual de $W_0^{1,p}(\mathbb{R})=\text{dual space of} W^{1,p}(\mathbb{R}=W^{-1,p'}(\mathbb{R})$ . Por lo tanto, existe $f_0,f_1 \in L^{p'}(\mathbb{R})$ tal que para $F \in W^{-1,p'}(\mathbb{R})$ , $$\langle F,u\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}f_0u+\int_{-\infty}^{\infty}f_1u, u \in W^{1,p}(\mathbb{R})$$ . Así,

$$\langle F,u_n\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}f_0u_n+\int_{-\infty}^{\infty}f_1u_n=\int_{-\infty}^{\infty}f_0\phi(x+n)+\int_{-\infty}^{\infty}f_1\phi(x+n)$$

Ahora bien, como $\phi$ está soportado de forma compacta, digamos que $\text{supp}{\phi} =[-m,m]$ . Entonces $$\int_{-\infty}^{\infty}|f_0\phi(x+n)|=\int_{-m-n}^{m-n}|f_0(x)\phi(x+n)|dx \le \left(\int_{-m-n}^{m-n}|f_0|^{p'}\right)^{\frac{1}{p'}}||\phi||_{p}$$

Ahora bien, como $|f_0|^{p'} \in L^{1}$ , dado $\epsilon \gt 0$ existe $R \gt 0 $ tal que $\int_{|x| \gt R}|f_0|^{p'} \lt \epsilon$ . Así que elegir $n \gt m-R$ tenemos $$\int_{-m-n}^{m-n}|f_0|^{p'} \le \int_{-\infty}^{m-n}|f_0|^{p'} \lt \epsilon$$

¿Está bien?

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

En cuanto a la 3., no estimar las integrales $\int f_j(x) \phi(x+n)dx$ en su camino pero aproximado $f_j$ por funciones con soporte compacto (sólo multiplicar con una función indicadora). Si $f_j$ tiene soporte compacto la integral es $0$ para $n$ lo suficientemente grande.

Respecto a 2. el límite de una subsecuencia convergente sería necesariamente $0$ por 3. Pero las normas de $u_n$ son constantes debido a la invariancia de la tranlación de la medida de Lebesque.