Una Generalización de Trascendental Números de Serie

Question

Un número $a \in \mathbb{R}$ es trascendental si no hay un polinomio $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ s.t. $f(a) = 0$.

Yo estaba pensando en generalizar esto a la serie infinita. Vamos a llamar a un número de $a \in \mathbb{R}$ serie-trancendental si no hay un poder serie $f(x) \in \mathbb{Q}[[x]]$ s.t. $f$ converge en $a$$f(a)=0$.

Me preguntaba si ahora hay una serie de trancsendental número? (Por ejemplo, $\pi$ no es de la serie-trancsendental porque $\sin(\pi)=0$)

Lo que si podemos ampliar la definición para permitir $a \in \mathbb{C}$?

Answer 1

No hay ninguna serie trascendental números. Dado $a$ podemos escribir una serie con coeficientes racionales de que ha $f(a)=0$. Deje $f(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i$ Elija $b_0 \in \Bbb Q$ tal que $|b_0 -a| \lt1$ Ahora elija $b_1 \in \Bbb Q$, de modo que $|b_0+b_1a| \lt \frac 12$, a continuación, elija $b_2$, de modo que $|b_0+b_1a+b_2a^2| \lt \frac 14$ y así sucesivamente. Hemos encontrado una serie tal que $f(a)$ converge a $0$. Del mismo modo, si $a$ es complejo, podemos escribir $c=a\overline a$ y encontrar una serie de $x^2$ que se lleva a $f(-c)$ a cero.