¿Cuál es el nombre de esta fórmula derivada de la distribución de Poisson?

Question

Estoy aprendiendo sobre la distribución de Poisson en este documento y su referencia.

Esta es la fórmula clave para calcular la distribución de Poisson:

$$f(k; \lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

Vi otra fórmula relacionada en algún lugar.

$$\sum\limits_{k = x}^{+\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

¿Hay un nombre para esta fórmula?

Answer 1

La primera fórmula es la función de masa de probabilidad (PMF) de la distribución de Poisson y la segunda es la función de supervivencia de esta distribución. La primera te da la probabilidad de que la variable aleatoria de Poisson (que puede tomar valores enteros) sea igual a $k$ y la segunda la probabilidad de que sea mayor o igual a $k$.

Answer 2

La serie de Taylor para la función $g(\lambda) = e^\lambda$ es $$e^\lambda = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}.$$ Al reorganizar, puedes verificar que la suma de las probabilidades de todos los resultados para una variable aleatoria Poisson($\lambda$) $X$ es $1$. $$\sum_{k=0}^\infty P(X = k) = \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = 1.$$

Answer 3

Para añadir a las respuestas de angryavian y Rohit Pandey, el complemento de la segunda fórmula es también la función de distribución acumulada (CDF): $$F(x-1) = P(X \leq x-1) = \sum_{k = 0}^{x-1} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = 1 - \sum_{k = x}^{+ \infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \ .$$

Answer 4

Para agregar a las respuestas de angryavian, Rohit Pandey y Ertxiem, la segunda fórmula es el complemento de la CDF de la PMF de Poisson para "x-1"

$$1 - F(x-1) = \sum_{k = x}^{+ \infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

lo que significa la probabilidad de al menos $x$ observaciones