Cómo probar esta desigualdad $(1+\frac{1}{16})^{16}<\frac{8}{3}$

Question

mostrar que $$(1+\dfrac{1}{16})^{16}<\dfrac{8}{3}$$

es bueno saber que $$(1+\dfrac{1}{n})^n<e$$ así $$(1+\dfrac{1}{16})^{16}<e$$ Pero he encontrado esto $e=2.718>\dfrac{8}{3}=2.6666\cdots$

entonces, ¿cómo probar esta desigualdad en la mano?

Gracias a todos resolverlo,quiero ver no utilice $e=2.718$,debido a que una mayoría de la mitad stundent no conozco a este valor.

antes de utilizar esta bien saber $$(1+\dfrac{1}{2n+1})(1+\dfrac{1}{n})^n<e$$

así $$(1+\dfrac{1}{16})^{16}<e\cdot\dfrac{33}{34}\approx 2.638<\dfrac{8}{3}$$ to solve this, But Now we don't use $e=2.718$. para probar esta desigualdad con la mano

Answer 1

\begin{align} (1+\dfrac{1}{16})^{16} &= \sum_{k=0}^{16} {16 \choose k}(\frac{1}{16})^k \\ & = 2 + \frac{15}{32} + \frac{35}{256} + \sum_{k=4}^{16} {16 \choose k}(\frac{1}{16})^k \\ & \leq 2 + \frac{15}{32} + \frac{35}{256} +\sum_{k=4}^{16} \frac{1}{k!}\\ & \leq 2+ \frac{15}{32} + \frac{35}{256} + e - 1 - 1- \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\\ & = e - \frac{2}{3} + \frac{155}{256} \\ & \leq 2.719 - 0.666 + 0.606 = 2.659 \end{align}

He utilizado el hecho de ${n \choose k} \leq \dfrac{n^k}{k!}$$e \geq \sum_{k=0}^{16}\dfrac{1}{k!}$. Además, $e< 2.719, \frac{2}{3} > 0.666, \frac{155}{256} < 0.606$

Añadido: una prueba que no utiliza el valor de $e$, se podría utilizar \begin{align} \sum_{k=4}^{16} \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{4!}(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5\times6} +\frac{10}{5\times 6\times 7}) = \frac{269}{7!} < \frac{39}{6!}< \frac{7}{5!} = \frac{7}{120} < 0.06 \end{align} Luego tenemos a $2 + \frac{155}{256} + \frac{7}{120} < 2 + 0.606 + 0.06 = 2.666$

Answer 2

Si $$(1+\dfrac{1}{16})^{16}<\dfrac{8}{3}$$ then $$16 \log(1+\dfrac{1}{16}) < \log\dfrac{8}{3}$$ Now, let us use a very fast converging series (it contains only positive terms) $$\log\Big(\frac{1+x}{1-x}\Big)=2\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$$ y el uso de $x=\frac{1}{33}$. El uso de sólo dos términos de la suma, entonces llegamos a la final (de seis cifras exactas) con $$16 \log(1+\dfrac{1}{16}) \simeq 0.969994 $$

Vamos a hacer nosotros lo mismo con el lado derecho de usar $x=\frac{5}{11}$. El uso de dos términos para la expansión ya que conduce a un valor de $0.971700$

Answer 3

Esto se puede hacer a mano, como una diversión poco de ejercicio en hexadecimal aritmética, con algunas inteligente hasta el redondeo para mantener los cálculos de llegar demasiado tedioso. Escribir todo (incluyendo los exponentes) en base a $16$, con cifras de $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$, la desigualdad tenemos que demostrar que puede escribirse como

$$3\cdot11^{10}\lt8\cdot10^{10}$$

Ahora$11^2=121$$121^2=14641$, si haces los cálculos de la base de $10$ o de la base de $16$ (no hay ningún lleva en cualquiera de los casos). Para ir más allá, ayuda a utilizar la desigualdad

$$14641^2\lt14700\cdot14600$$

Si esta desigualdad no sonar tan obvio (y no debería, en realidad, ya que estamos trabajando en un desconocido base), tenga en cuenta que

$$14641^2=(14700-BF)(14600+41)=14700\cdot14600-(146\cdot BF-147\cdot41)100-BF\cdot41$$

y

$$147\cdot41\lt200\cdot50=A000\lt B000=100\cdot B0\lt146\cdot BF$$

Continuando, tenemos

$$11^8=14641^2\lt14700\cdot14600=(147\cdot146)\cdot10^4=1A05A\cdot10^4\lt1A1\cdot10^6$$ y así

$$11^{10}\lt1A1^2\cdot10^C=2A741\cdot10^C\lt2A800\cdot10^C=2A8\cdot10^E$$

así que, finalmente,

$$3\cdot11^{10}\lt3\cdot2A8\cdot10^E=7F8\cdot10^E\lt800\cdot10^E=8\cdot10^{10}$$

como se desee.

Por favor nota, hice todas las tres dígitos multiplicaciones aquí literalmente a mano, en papel, así que espero que alguien se tome el tiempo para revisar mi aritmética y corregir si es necesario. La base fundamental-$16$ cálculos que no son eyeballable

$$\begin{align} 121^2&=14641\\ 14641&=14700-BF\\ 147\cdot146&=1A05A\\ 1A1^2&=2A741\\ 3\cdot2A8&=7F8\\ \end{align}$$

Answer 4

Suponiendo que los registros están permitidos, y supongamos que cambiar la pregunta un poco

"Encontrar la mayor $n$ que $\left(1+\dfrac 1{16}\right)^n<\dfrac 83$."

La solución sería:

$$\left({\dfrac {17}{16}}\right)^n<\dfrac 83\\ n(\log de 17\log 16)<\log8-\log 3\\ n<\dfrac{\log8-\log 3}{\log de 17\log 16}\\ n<16.18\\ n=16$$

De ahí la propuesta $$\left(1+\dfrac 1{16}\right)^{16}<\dfrac 83$$ es cierto.

Answer 5

Una manera más fácil sería demasiado vistazo a la expansión de la serie: $$(1+x)^{1/x}=e- \frac{ex}{2}+O(x^2)$$ Por lo tanto, $$\left(1+\frac{1}{16}\right)^{16}<e-\frac{e}{32}+O(x^2)\approx 2.633 <\frac{8}{3}$$ Donde el resto puede ser demostrado ser menor que $1/256$.