¿Cómo combinar/manipular dos sumas en una suma en general?

Question

Siempre me cuesta entender lo que puedo y no puedo hacer con las sumas. De hecho, incluso cuando la convergencia no es un problema, me confundo. ¿Qué puedo hacer para solucionar este problema?

Por ejemplo, actualmente estoy intentando demostrar que la multiplicación de polinomios (formales) es asociativa. Por polinomio sobre un campo $F$ entendamos una función $a : \mathbb{N} \rightarrow F$ donde $F$ es un campo, tal que para $n$ suficientemente grande se cumple que $a_n = 0$ . La multiplicación de polinomios puede definirse del siguiente modo. Para todos los polinomios $a$ et $b$ y todos $n \in \mathbb{N}$ se cumple que $$(ab)_n = \sum_{i,j \in \mathbb{N}}^{i+j=n} a_i b_j.$$

Así que el problema es demostrar que para todos los polinomios $a$ , $b$ et $c$ sostiene que $(ab)c=a(bc)$ . Fijar polinomios cualesquiera $a$ , $b$ et $c$

Entonces $$[(ab)c]_n = \sum_{m,k \in \mathbb{N}}^{m+k=n} (ab)_m c_k = \sum_{m,k \in \mathbb{N}}^{m+k=n} (\sum_{i,j \in \mathbb{N}}^{i+j=m} a_i b_j) c_k = \sum_{m,k \in \mathbb{N}}^{m+k=n} \sum_{i,j \in \mathbb{N}}^{i+j=m} a_i b_j c_k.$$

Ahora quiero combinar las dos sumas en una única suma $\displaystyle \sum_{i,j,k \in \mathbb{N}}^{i+j+k=n}$ . ¿Cómo justifico esto?

En general, ¿cómo se justifica este tipo de cosas?

Answer 1

A continuación te explicamos cómo puedes hacerlo utilizando sólo la forma más común de notación sumatoria.

$$\begin{align*} [(ab)c]_n&=\sum_{m,k\in\Bbb N}^{m+k=n}(ab)_mc_k\\\\ &=\sum_{m=0}^n(ab)_mc_{n-m}\\\\ &=\sum_{m=0}^n\left(\sum_{i=0}^ma_ib_{m-i}\right)c_{n-m}\\\\ &=\sum_{m=0}^n\sum_{i=0}^ma_ib_{m-i}c_{n-m}\\\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{m=i}^na_ib_{m-i}c_{n-m}\\\\ &=\sum_{i=0}^na_i\sum_{m=i}^nb_{m-i}c_{n-m}\\\\ &=\sum_{i=0}^na_i\sum_{k=0}^{n-i}b_kc_{n-i-k}&&(k=m-i)\\ &=\sum_{i=0}^na_i(bc)_{n-i}\\\\ &=[a(bc)]_n \end{align*}$$