Es el producto Cartesiano $A \times \{\emptyset\}$ igual a $A \times \emptyset= \emptyset$?

Question

Si $\emptyset\neq\{\emptyset\}$, entonces el resultado de $\mathbf{A}\times\emptyset$ debe diferir del resultado de $\mathbf{A}\times\{\emptyset\}$.

¿No es así? ¿Cuál es el resultado de la última, si - digamos - $\mathbf{A}=\{1, 2\}$?

Answer 1

Yup.

El producto Cartesiano de a $X$ $Y$ es el conjunto de pares $(a, b)$$a\in X$$b\in Y$.

El producto Cartesiano $A\times\emptyset$ está vacío porque no hay ningún par de esa forma - $\emptyset$ no tiene elementos!

Pero $\{\emptyset\}$ no tiene un elemento, a saber, $\emptyset$. Por ejemplo, si tomamos $A=\{1, 2\}$, $$A\times\{\emptyset\}=\{(1, \emptyset), (2, \emptyset)\}.$ $ Recuerde que el emptyset es que no se nada! Sólo contiene nada. Piense en ello como una bolsa vacía - es todavía una cosa que existe (es decir, una bolsa).

Answer 2

Recordemos que $X\times Y$ es el conjunto de todos los pares de $(x,y)$ tal que $x\in X$$y\in Y$. Si $Y=\emptyset$, entonces no hay tal pares de satisfacer esta condición, por lo $A\times\emptyset=\emptyset$. Por otro lado, el conjunto de $\{\emptyset\}$ tiene exactamente un elemento, y por lo $A\times\{\emptyset\}=\{(a,\emptyset)\,:\,a\in A\}$ que es no vacío si $A$ es no vacío, y, de hecho, es evidente que existe una bijection $A\longrightarrow A\times\{\emptyset\}$.

Answer 3

Sí, sí difieren. Decir, por su ejemplo, $\{1,2\}\times\{\varnothing\}=\{(1,\varnothing),(2,\varnothing)\}$.

Answer 4

El número de elementos en $\varnothing$$0$.

El número de elementos en $\{\varnothing\}$$1$.

Para el producto cartesiano, el número de elementos es el producto. Por lo tanto, si $A=\{1,2\}$ tiene dos elementos, podemos ver:

$A \times \varnothing$ $2 \times 0 = 0$ elementos, pero

$A \times \{\varnothing\}$ $2 \times 1 = 2$ elementos.