Cada factor de producto topología $X$, es homeomórficos a retractarse de $X$.

Question

Cómo puedo probar este teorema?

Deje $X$ es la topológico producto de algún familiar $\mathcal A$ de los espacios, a continuación, cada factor es homeomórficos a retractarse de $X$.

Answer 1

Deje $\mathscr{A}=\{X_i:i\in I\}$ para un conjunto de índices $I$. Fijar un punto de $p=\langle p(i):i\in I\rangle\in X$. Fix $i_0\in I$, y deje $I_0=I\setminus\{i_0\}$. Vamos

$$Y=\left\{x\in X:\forall i\in I_0\big(x(i)=p(i)\big)\right\}\;.$$

1. Mostrar que $Y$ es homeomórficos a $X_{i_0}$. SUGERENCIA: Considerar la proyección de $\pi_i:X\to X_i$.
2. Mostrar que $Y$ es un retractarse de $X$. SUGERENCIA: Hay un mapa de $X$ $Y$eso es muy parecida a la de la proyección.

En la visualización de todo esto puede ayudar a considerar la posibilidad de que si $I=\{0,1\}$$X_0=X_1=\Bbb R$, el punto de $p$$\langle 2,3\rangle$, y si $i_0=1$,$Y=\{\langle x,y\rangle\in\Bbb R^2:y=3\}$, la gráfica de la ecuación de $y=3$. La proyección de $\langle x,3\rangle\mapsto x$ es bastante claramente un homeomorphism. Lo que es igual de simple que la retracción de $\Bbb R^2$ a $Y$? Se debe enviar $\langle x,y\rangle$ a ... ¿qué?