$L^p$ $L^\infty$

Question

Así que estoy tratando de demostrar que para un conjunto $E$ finito de medir, y para $1 \leq p < \infty$, $||f||_p \leq (m(E))^{1 - 1/p}||f||_{\infty}$. Pero creo que he demostrado lo equivocado. Me puedes ayudar a ver a dónde me salió mal?

Mi prueba es algo así como

$$||f||_p =\left(\int_E |f|^p\right)^{1/p} \leq \left(\int_E ||f||_{\infty}^p\right)^{1/p} = \left(||f||_{\infty}^p \int_E 1\right)^{1/p} = ||f||_{\infty} (m(E))^{1/p},$$

que no es lo que se pide en el problema.

Gracias!

Answer 1

Lo que se obtiene es cierto, pero no la quería de la desigualdad. Pero usted puede escribir, suponiendo que $f\in L^{\infty}$ $|f|^p=|f|^{p-1}|f|\leq ||f||_{\infty}^{p-1}|f|$ a continuación, aplicar Hölder la desigualdad.