La definición de un homomorphism dado un mapeo y de la terminología y la notación asociada?

Question

Así que el problema es:

"Definir un homomorphism $f: (\mathbb{Z}_6, +_6) \ \xrightarrow{onto} (\mathbb{Z}_3, +_3)$.

Explícitamente dime cómo f se define: Mostrar que f es una función, mostrar que f es un homomorphism. "

Por lo que el texto me confunde un poco, f es sólo algunas de cartografía por lo que me está diciendo a ENCONTRAR un homomorphism que tiene el mismo dominio y codominio, ¿correcto? Si es así, me hizo una función definida a tramos

$ f(x) = \left\{\begin{aligned} &[0] &&: x=[0],[3] \\ &[1] &&: x=[1],[4] \\ &[2] &&: x=[2],[5] \\ \end{aligned} \right. $

donde $x \ \epsilon \ (\mathbb{Z}_6)$.

Debo poner $x \ \epsilon \ (\mathbb{Z}_6, +_6)$ aquí en su lugar? Me siento como que realmente no entrenamiento, pero yo podría estar equivocado, $x \ \epsilon \ (\mathbb{Z}_6)$ le parece más natural para mí.

Ahora, sería mejor utilizar a $f(x) = [1] : x= [3k+1],$ tal que $k = 0, 1, 2, ...$ en lugar de la x = [1],[4] aunque el conjunto es lo suficientemente pequeño que es fácil describe todos los posibles valores de x que yo estoy hablando(y haciendo esto [0] y [2] así, por supuesto).

Suponiendo que ya mostró f es una función, y voy a mostrar es un homomorphism, está bien para ir sobre él, sólo mostrando el $f([x_1] +_6 [x_2]) = f(x_1) +_3 f(x_2)$, donde los $x_1, x_2$ valores son todas las combinaciones de x que he enumerado? O debo ir sobre él, más en general, se utilizan x=3k, x=3k+1, x=3k+2 (shorthanding un poco aquí) como se describió anteriormente?

Por último, para la conclusión final, sería la forma correcta de redacción:

$\therefore f(x)$ es un homomorphism $f: (\mathbb{Z}_6, +_6) \ \xrightarrow{onto} (\mathbb{Z}_3, +_3)$ ?

O sólo debo decir algo como

$\therefore f$ es un homomorphism? Toda ayuda se agradece, tratando de conseguir el adecuado convenios y comprensión hacia abajo!

Answer 1

La definición que dio es el bueno y, de hecho, con el fin de mostrar que este es un grupo de morfismos usted debe comprobar el grupo de morfismos de la propiedad para cada combinación de valores de $x_1$$x_2$. Considerando que es "evidente" que su función es, de hecho, un grupo de morfismos, con el fin de demostrar rigurosamente que usted debe ir a través de un análisis de caso por caso, que no es muy eficiente.

Además, usted no debe decir "$f(x)$ es un homomorphism" se podría decir "$x\mapsto f(x)$ es un homomorphism". Su segunda formulación es correcta.

Si quieres ser un poco más algebraicas usted puede utilizar la característica universal del cociente de los grupos. De hecho,$\mathbb{Z}/6$$\mathbb{Z}/(6\mathbb{Z})$.

En general, si se le $G,H$ dos grupos y $N$ un subgrupo normal de $G$. Si quieres construir un surjective grupo de morfismos $f:G/N\rightarrow H$ es suficiente para construir un surjective grupo de morfismos $g:G\rightarrow H$ tal que $Ker(g)\geq N$. De hecho, la característica universal del cociente de los grupos indica que $g$ será un factor a través del cociente $G/N$ en función de $f:G/N\rightarrow H$ con el mismo grupo de imágenes.