Demostrando $\sup(|f|) - \inf(|f|) \leq \sup(f) - \inf(f)$

Question

Les agradezco si me pudieran dar algunos consejos sobre cómo probar que :

$$\sup(|f|) - \inf(|f|) \le \sup(f) - \inf(f)$$

Answer 1

Aquí es una estrategia. Desde que pidió sugerencias, me permiten verificar los detalles.

Esto no es realmente un hecho acerca de las funciones. Es más bien una propiedad de subconjuntos $S$$\mathbb{R}$. Así que toma un conjunto de $S$ y denotan $|S|:=\{|s|\;;\;s\in S\}$. Queremos $$ \sup |S|-\inf|S|\leq \sup S-\inf S. $$

Tenemos una alternativa.

Caso 1: $\sup |S|=\sup S$. Claramente $\inf S\leq \inf |S|$. Por lo que la desigualdad se cumple.

Caso 2: $\sup|S|=-\inf S$. Compruebe que $-\inf|S|\leq \sup S$. La desigualdad de la siguiente manera.