Quiero saber si no hay ningún ejemplo en $X_n$ es uniformemente integrable, $N$ es un tiempo de paro y $E[X_N] =\infty$? O uniforme de integrabilidad de $X_n$ implica que el $E[X_N]< \infty$?
Respuesta
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Esto no es cierto. Por otra parte, parece bastante obvio para mí que el hecho de que como esto no puede ser cierto, sin ninguna otra suposición como la martingala de la propiedad; sin embargo, el requisito de que $N$ debe ser un tiempo de parada (con respecto a la filtración de $X$, supongo) hace que sea más difícil encontrar un contraejemplo.
Deje $\Omega$ $[0,1]$ con la medida de Lebesgue y $X_n(\omega) = \frac{2^n}{n} \mathbf{1}_{(2^{-n},2^{-n+1}]}(\omega)$. A continuación, $$\sup_{n} E[|X_n|\mathbf{1}_{|X_n|>C}] = \sup_{n:\frac{2^n}n>C} \frac1{n} = \frac{1}{\inf\{n: 2^n/n>C\}}\to 0,C\to\infty,$$ así que la secuencia es uniformemente integrable (como alternativa, puede utilizar la de la Vallée-Poussin teorema de con $V(x) = x\log x$). Sin embargo, la configuración de $N = \inf\{n\ge 1: X_n>0\}$, $$ E[X_N] = E\left[\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n} \mathbf{1}_{(2^{-n},2^{n+1}]}(\omega)\right] = \sum_{n=1}^\infty \frac1n = +\infty. $$
