Demostrando surjectivity de $\cos(z)$ $\sin(z)$ y encontrar todos los $z : \cos(z) \in \mathbb R$ y todos los $z: \sin(z) \in \mathbb R$

Question

Estoy tratando de resolver los dos problemas siguientes:

1) Probar que las funciones $\cos(z)$, $\sin(z)$ son surjective sobre los números complejos.

2) Encontrar todos los $z \in \mathbb C$: $cos(z) \in \mathbb R$ y encontrar todas las $z \in \mathbb C$: $\sin(z) \in \mathbb R$.

1),he tratado de demostrar que la función de $\cos(z)$ (supongo que el otro es analógica) así que he utilizado el hecho de que $\cos(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$.

Deje $w \in \mathbb C$, quiero mostrar que existe $z \in \mathbb C : f(z)=w$, es decir, $\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=w$, multiplicando por $2$ y, a continuación, por $e^{iz}$ rendimientos $e^{2iz}+1=2we^{iz}$ fib $e^{2iz}-2we^{iz}+1=0$.

No sé si este enfoque es el correcto, pero aquí he sustituido $e^{iz}$$x$, por lo que las soluciones de la ecuación serían las raíces del polinomio $p(x)=x^2-2wx+1$, por la fórmula cuadrática, tengo que $x \in \{\dfrac{2w+w_0}{2},\dfrac{2w-w_0}{2}\}$ donde $w_0^2=4w^2-4$.

A continuación, $e^{iz} \in \{\dfrac{2w+w_0}{2},\dfrac{2w-w_0}{2}\}$. En este punto me perdí, me gustaría muestran de forma explícita que el $z$ existe y no puede ver la existencia directamente desde el hecho de que $e^{iz}=\dfrac{2w+w_0}{2}$ o $e^{iz}=\dfrac{2w-w_0}{2}$.

Primero pensé en tomar el logaritmo de ambos lados de la ecuación ir el fin de resolver para $z$, pero esto no es una operación legítima a menos que $e^{iz} \in \mathbb R$.

Yo no podía ir más lejos.

Para el punto 2) no tengo idea de qué hacer, qué debo utilizar la identidad de $\cos(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$?

Agradecería un poco de ayuda con los dos puntos (especialmente con el punto 2), por lo menos en 1) yo podría hacer algo).

Por cierto, ¡Feliz año nuevo!

Answer 1

1) tenga en cuenta que uno de $\frac{2w+w_0}{2}, \frac{2w-w_0}{2}$ debe ser distinto de cero, y que $e^{iz}$ logra todos los valores, excepto $0$, ya que para cualquier $re^{i\theta}\in \Bbb C$ hemos $re^{i\theta}=e^{i(\theta-i\ln r)}$ así tenemos algunos $z$ tal que $e^{iz}=\frac{2w+w_0}{2}$ o $e^{iz}=\frac{2w-w_0}{2}$.

2) Si escribimos $z=x+iy$ $$\cos(z)=\frac{e^{ix-y}+e^{-ix+y}}{2}=\frac{e^{-y}e^{ix}+e^y\overline{e^{ix}}}{2}$$ que ha conjugado $$\frac{e^{-y}\overline{e^{ix}}+e^ye^{ix}}{2}$$ por lo $\cos(z)$ es real iff $$e^{-y}e^{ix}+e^y\overline{e^{ix}}=e^{-y}\overline{e^{ix}}+e^ye^{ix}.$$ Si $e^{ix}$ es real, a continuación, $x=n\pi$ algunos $n\in\Bbb N$. De lo contrario, $e^{ix}$ $\overline{e^{ix}}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb R$, lo $e^{-y}=e^y$$y=0$.

El caso de $\sin$ es similar para ambos problemas.

Answer 2

El complejo logaritmo es de hecho lo que usted puede hacer cuando usted tiene $e^z$ y usted desea conseguir $z$. Como lo hizo, la ecuación cuadrática siempre tiene al menos una solución de (repetir si $w \in \{1,-1\}$). La elección de cualquiera de ellos, sólo tenemos que "tomar registros" de $e^{iz} = a$ algunos $a \ne 0$ que usted tiene que comprobar. Ahora $e^{x+yi} = e^x \cdot e^{iy}$ (tiempos de la longitud del ángulo) y así podemos representar cualquier distinto de cero número complejo como $e^{x+yi}$ algunos $(x,y)$ (posibles valores de $y$ la repetición de todas las $2\pi$). Esto también se muestra cómo obtener la solución exacta conjunto.

Finalmente, $\sin$ puede como lo has adivinado ser resuelto analagously pero también se puede utilizar la identidad que involucra $\sin$ $\cos$ "traducciones" de uno a otro.