Evaluar $\int_{0}^1 x^{p}(\log x)^q dx$

Question

Evaluar

$$\int_{0}^1 x^{p}(\log x)^q dx$$ para$p \in \mathbb{N}$$q \in \mathbb{N}$.

Answer 1

Vamos $$I(p)=\int_0^1x^p\ dx$$ Therefore your integral is $I^{(p)}(p)$ using differentiation under the integral sign. Thus the $p$th derivative of $\frac{1}{p+1}$ es lo que está después.

Answer 2

Sustituyendo $x=e^{-u}$,$u=\frac{v}{p+1}$, obtenemos: $$I(p,q)=\int_{0}^{1}x^p(\log x)^q\,dx = (-1)^{q}\int_{0}^{+\infty}e^{-(p+1)u} u^q\,du=\color{red}{\frac{(-1)^q}{(p+1)^{q+1}}\cdot q!}.$$

Answer 3

Para $\mathbb{R} \ni p>-1$ $q \in \mathbb{R}$ mediante el establecimiento $x = e^{-t/(p+1)}$ tenemos

$$\int_0^1 x^{p}(\log x)^q\,dx=\frac{(-1)^q}{(p+1)^{q+1}} \cdot \int_0^\infty e^{-t}t^q \, dt.$$

Por definición de la parte superior de la función gamma incompleta obtenemos

$$\int_0^\infty e^{-t}t^q \, dt = \Gamma(1+q).$$

El uso de este obtenemos

$$\int_0^1 x^{p}(\log x)^q\,dx = \frac{(-1)^q}{(p+1)^{q+1}} \cdot \Gamma(q+1).$$

Suponiendo que $p,q \in \mathbb{N}$ hemos

$$\int_0^1 x^{p}(\log x)^q\,dx = \frac{(-1)^q}{(p+1)^{q+1}} \cdot q!.$$