En la página 85 de Jech de la Teoría de conjuntos (3ª Edición), una completa álgebra Booleana $B$ se define a ser $\kappa$-distributiva si
\begin{equation}\label{a}\tag{1} \prod_{\alpha < \kappa}\, \sum_{i \in I_\alpha} u_{\alpha, i} = \sum_{f \in \prod_{\alpha < \kappa}} \prod_{\alpha < \kappa} u_{\alpha, f(\alpha)} \end{equation}
para cualquier colección de $\{u_{\alpha, i}\}_{\alpha < \kappa, i \in I_\alpha}$ de $B$. Esta propiedad es fácilmente visto a una completa álgebra de conjuntos; por un arbitrario del álgebra Booleana, Jech presenta dos diferentes caracterizaciones de \eqref{un} en el Lema 7.16.
Mi pregunta es ¿por $\kappa$-distributividad no es sólo una consecuencia de la Piedra de la Representación Teorema (Teorema 7.11): Supongamos que desea verificar \eqref{a} para algunos álgebra Booleana $B$. De la Piedra del Teorema de Representación, hay un isomorfismo $\varphi$ asignación de $B$ a $S$, donde $S$ es un álgebra de conjuntos. Basta para comprobar que
\begin{equation} \varphi\left(\prod_{\alpha < \kappa}\, \sum_{i \in I_\alpha} u_{\alpha, i}\right) = \varphi\left(\sum_{f \in \prod_{\alpha < \kappa}} \prod_{\alpha < \kappa} u_{\alpha, f(\alpha)}\right). \end{equation}
Para ese fin,
\begin{align} \varphi\left(\prod_{\alpha < \kappa}\, \sum_{i \in I_\alpha} u_{\alpha, i}\right) &= \bigcap_{\alpha < \kappa} \varphi\left(\sum_{i \in I_\alpha} u_{\alpha, i}\right)\tag{2}\\ &= \bigcap_{\alpha < \kappa}\,\bigcup_{i \in I_\alpha} \varphi\left(u_{\alpha, i}\right)\tag{3}\\ &= \bigcup_{f \in \prod_{\alpha < \kappa}} \bigcap_{\alpha < \kappa} \varphi\left(u_{\alpha, f(\alpha)}\right)\tag{4}\\ &\:\,\, \vdots\\ &= \varphi\left(\sum_{f \in \prod_{\alpha < \kappa}} \prod_{\alpha < \kappa} u_{\alpha, f(\alpha)}\right)\tag{5}, \end{align}
donde (2), (3) y (5) debido a un isomorfismo es un completo homomorphism; y donde (4) se debe a \eqref{un} y $S$ ser un álgebra de conjuntos.
Sin duda este argumento es erróneo, pero no puedo precisar dónde puedo ir mal.
