Una aclaración Respecto de la Tor Functor involucrados en un número Finito de Secuencia Exacta

Question

Deje $\cdots\rightarrow F_1 \rightarrow F_0 \rightarrow M \rightarrow 0$ libre de resolución de la $A$-módulo de $M$. Deje $N$ $A$- módulo. He visto en algunas de las notas que tenemos una secuencia exacta $0 \rightarrow \operatorname{Tor}(M,N) \rightarrow F_1 \otimes N \rightarrow F_0 \otimes N \rightarrow M \otimes N \rightarrow 0$. ¿Por qué es eso cierto?

Editado:

Permítanme explicar el origen de mi confusión. En mi estudio, $\operatorname{Tor}_n(M,N)$ se define como la homología de la dimensión $n$ de la doble compleja $K_{p,q}=F_p \otimes Q_q$ donde $F_{\cdot}, Q_{\cdot}$ son proyectivas de las resoluciones de $M,N$ respectivamente. Se ha demostrado que la $\operatorname{Tor}_n(M,N) = \operatorname{Tor}_n(F_{\cdot} \otimes N)=H_n(F_{\cdot} \otimes N) = \frac{Ker(F_n \otimes N \rightarrow F_{n-1} \otimes N)}{Im(F_{n+1} \otimes N \rightarrow F_{n} \otimes N)}$. Ahora bien, si la secuencia $0 \rightarrow \operatorname{Tor}(M,N) \rightarrow F_1 \otimes N \rightarrow F_0 \otimes N \rightarrow M \otimes N \rightarrow 0$ es exacta, entonces $\operatorname{Tor}_1(M,N) = \operatorname{Ker}(F_1 \otimes N \rightarrow F_{0} \otimes N)$, lo que significa que $\operatorname{Im}(F_{2} \otimes N \rightarrow F_{1} \otimes N)=0$, lo cual no tiene sentido. Lo que me estoy perdiendo?

PS: La referencia que yo estoy usando es Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría del Apéndice B. eso es lo máximo Que he llegado tan lejos con el álgebra homológica.

Answer 1

El tensor de la functor es derecho-exacto. Tenemos una secuencia exacta

$F_1\to F_0\to M\to 0$,

lo que implica que el complejo

$F_2\otimes N\to F_1\otimes N\to F_0\otimes N\to M\otimes N\to 0$,

es exacto, excepto posiblemente en a $F_1\otimes N$. Ahora ¿cómo se puede calcular el $\mathrm{Tor}_1(M,N)$? Usted debe ser capaz de averiguar a partir de aquí.

Answer 2

Tiene usted derecho a ser confuso, porque la declaración no es cierto, como está escrito, por la razón que usted dice. Ejemplo: tomemos $A=k[x]/x^2$$M=k$$N=A$. A continuación, $\operatorname{Tor}_A(M,N)=0$ porque $N$ es gratuita por lo que la plana. Una resolución libre para $M=k$ comienza $$ \cdots A \stackrel{x}\to A \stackrel{x}\to A \to k \to 0 $$ Tensoring con $N=A$ da $$ \cdots \to A \otimes_A A \to A \otimes_A A \to k \otimes_A A \to 0$$ Su secuencia es $$0 \to 0 \to A \to A \to k \to 0 $$ (porque la Tor el grupo desapareció y $A\otimes _A A \cong A$$A \otimes_A k\cong k$) que no puede posiblemente ser exactos sólo considerando las dimensiones.

La afirmación correcta es que $$ 0 \to \operatorname{Tor}_1^A(M,N) \to \ker d_0 \otimes_A N \to F_0 \otimes_A N \to M\otimes_A N \to 0 $$ is exact, where $d_0$ is the map $F_0 \N$ in the free resolution. This is the long exact sequence for associated to $0 \a \ker d_0 \a F_0 \N \to 0$; the 0 on the left is $\operatorname{Tor}_1^A(M,F_0)$ which vanishes by flatness of $F_0$.