La pregunta es para probar el hecho bien conocido, que la media geométrica es siempre menor o igual a la media aritmética de dos números.
Problema. Probar que si $0<a<b$, luego
$a<\sqrt{ab}<{\frac{a+b}{2}}<b$
Prueba. He utilizado la siguiente lógica para demostrar la desigualdad anterior. Desde $0<a<b$,
${(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}>{0}$
${a-2{\sqrt{ab}}+b}>{0}$
$\sqrt{ab}\le{\frac{a+b}{2}}$
También,
$0<a<b$
$0<{a^2}<ab$
$0<a<{\sqrt{ab}}$
La combinación de los dos resultados anteriores, tenemos $a<\sqrt{ab}<{\frac{a+b}{2}}<b$.
Mi pregunta es, "¿existe una prolija prueba disponible para validar la anterior matemático de la desigualdad?"
