Lo que se sabe acerca de los números de $M_p = \left\vert C(\mathbb{F}_p )\right\vert$?

Question

Hay una pregunta (2.4.c) marcados con ** (para denotar "extremadamente difícil/actualidad problema abierto") en Silverman y Tate Puntos Racionales en Curvas Elípticas que me pareció muy interesante y me preguntaba si alguien puede arrojar más luz sobre el problema para mí.

Deje $p\geq 5$ ser una de las primeras y deje $C=C_p: y^2 = x^3 + 1$ ser el cúbicos curva sobre el campo finito $\mathbb{F}_p$. Deje $M_p = \left\vert C(\mathbb{F}_p)\right\vert$ ser el fin de que el grupo de puntos racionales de $C$ (esto incluye el punto en el infinito). Mirando algunos pequeños primos me demostró que si $p\equiv 2 \pmod 3$$M_p = p+1$.

El caso interesante es cuando $p\equiv 1 \pmod 3$. Escribí un programa que calcula el $M_p$ donde $p\equiv 1\pmod 3$ es primo. Obtenemos la siguiente secuencia, donde el $i$th término es el valor de $M_p$ $i$th mayor prime $p$ de la forma $p\equiv 1\pmod 3$, y he calculado aquí para todos los $p\leq 1000$:

$12, 12, 12, 36, 48, 36, 48, 84, 84, 84, 84, 84, 108, 108, 156, 156, 144, 156, 156, 192, 228, 228, 252, 252, 228, 300, 252, 252, 324, 336, 300, 372, 336, 372, 336, 372, 432, 372, 444, 432, 468, 468, 444, 444, 468, 516, 588, 588, 588, 624, 576, 588, 624, 588, 588, 684, 624, 624, 684, 732, 684, 684, 756, 804, 732, 768, 732, 756, 876, 876, 912, 804, 912, 876, 948, 972, 912, 948, 948, 1008, \dots$

Parece que sin embargo muchos de los términos que usted tome su MCD es siempre $12$, y esto no cambia tan lejos como $p\leq 3000$, así que tengo dos preguntas:

1. ¿Alguien puede probar que $M_p$ es siempre divisible por 12?
2. Desde 1992, cuando se publicó el libro, alguien ha encontrado una expresión para $M_p$?

Cualquier información adicional acerca de esta secuencia (o temas relacionados/papers) es muy bienvenida!

Answer 1

Los números que usted realmente desea ver llegar a ser

$$a_p = p + 1 - |C(\mathbb{F}_p)|.$$

No hay mucho que decir acerca de estos números. El Hasse-Weil obligado implica que $|a_p| \le 2 \sqrt{p}$. Las conjeturas de Weil explicar por qué esta obligado sostiene: es porque (para todos, pero un número finito de $p$) hay un par de conjugar los números algebraicos $\alpha_p, \overline{\alpha}_p$ de valor absoluto $\sqrt{p}$ tal que

$$|C(\mathbb{F}_{p^n})| = p^n + 1 - \alpha_p^n - \overline{\alpha}_p^n$$

para todos los $n$, lo que da

$$a_p = \alpha_p + \overline{\alpha}_p.$$

La Sato-Tate conjetura describe la distribución asintótica de estos números como $p$ varía. Finalmente, una forma de estado de la modularidad teorema (que no era un teorema cuando Silverman-Tate fue publicado!) en este caso es que hay una forma modular

$$f(q) = \sum_{n \ge 0} b_n q^n$$

que debe de ser un "normalizado cuspidal Hecke eigenform de peso $2$ y el nivel de $N$," donde $N$ es un número entero positivo llamado el conductor de $C$, de tal manera que $b_0 = 0$ ("cuspidal"), $b_1 = 1$ ("normalizado"), y

$$a_p = b_p$$

para todos los números primos $p$ no dividiendo $N$. Así que, esencialmente, el mejor que usted puede hacer tan lejos como la búsqueda de una fórmula para la $a_p$ va es encontrar una descripción concisa de esta forma modular.

Sage me informa de que esta curva ha conductor de $36$ y que no hay un único normalizado a la cúspide en forma de peso $2$ y el nivel de $36$, que es necesariamente el Hecke eigenform queremos. Esto implica que $y^2 = x^3 + 1$ debe ser de hecho (isogenous?) el modular de la curva de $X_0(36)$. El $q$-la expansión de esta forma modular comienza

$$q - 4 q^7 + 2 q^{13} + 8 q^{19} - 5 q^{25} + \dots$$

y de acuerdo a este documento que he encontrado, es $\eta (6 \tau)^4$ donde $\eta$ es el Dedekind eta función. El $q$-la expansión de esta forma modular, en su totalidad, es por lo tanto

$$f(q) = q \prod_{n=1}^{\infty} (1 - q^{6n})^4.$$

Véase también el número pentagonal teorema, lo que conduce a una expresión para $a_p = b_p$ en términos de una firma de suma sobre el conjunto de formas de $\frac{p - 1}{6}$ puede ser escrita como una suma de $4$ números pentagonales.

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Edit: Aquí es una prueba de que $|C(\mathbb{F}_p)|$ es divisible por $12$ al $p \equiv 1 \bmod 3$. Como Greg Martin dice en los comentarios, esto es equivalente a mostrar que la $C(\mathbb{F}_p)$ total 2-torsión y un 3-torsión punto. El 2-torsión puntos de una curva elíptica en Weierstrass forma normal son precisamente las de la forma $(x_0, 0)$, junto con el punto en el infinito, y por lo tanto el número de 2-torsión de puntos es el número de raíces de $x^3 + 1$, más uno.

Ahora, si $p \equiv 1 \bmod 6$, $\mathbb{F}_p^{\times}$ contiene un elemento de orden $6$, y, por tanto, $\mathbb{F}_p$ tiene todas sexto raíces de la unidad. Dado que las raíces de $x^3 + 1$ sexto raíces de la unidad, se deduce que el $x^3 + 1$ $3$ raíces sobre $\mathbb{F}_p$ en este caso, y por lo tanto no se $4$ 2-torsión puntos, como se desee.

Queda por mostrar que también hay un trivial $3$-torsión punto. Recordemos que un punto es $3$-torsión iff su tangente de la línea intersecta la curva con multiplicidad $3$. De hecho, los puntos de $(0,\pm 1)$ ambos tienen esta propiedad: su tangente a las líneas de tomar la forma $y = \pm 1, x = t$, y sustituyendo esto en la da $t^3 = 0$. Así que siempre hay al menos $3$ 3-torsión puntos, como se desee.

Answer 2

Si $p$$\equiv 1 \bmod 3,$, entonces podemos escribir $p = a^2 + 3 b^2$ donde $a$ es sujetado por que requieren $a \equiv 1 \bmod 3$ (y no voy a molestar a precisar $b$). Entonces, la escritura de $a_p = 1 + p - | C(\mathbb F_p)|$, como de costumbre, uno tiene que $$a_p = 2a,$$ o, equivalentemente, $$| C(\mathbb F_p)| = 1 + p - 2 a .$$

En términos de Qiaochu la respuesta de la correspondiente forma modular es un CM de formas modulares, por lo que puede ser expresado en términos de un Hecke carácter de la CM campo (que es $\mathbb Q(\zeta_3)$ en este caso).

Más directamente, la curva de $C$ es un CM de curva elíptica, con CM por $\mathbb Z[\zeta_3]$ (el elemento $\zeta_3$ hechos por $(x,y) \mapsto (\zeta_3 x, y)$), y por lo que corresponde a un Hecke carácter de $\mathbb Q(\zeta_3)$. Explícitamente este cálculo Hecke carácter da el resultado anterior.