Evaluar $\lim_{x\to 0}\frac{\left[x^2\right]}{\sin x^2}$

Question

Comprobar si el siguiente límite existe o no :

$$\lim_{x\to 0}\frac{\left[x^2\right]}{\sin x^2}$$

Aquí , $\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{\left[x^2\right]}{\sin x^2}=\lim_{x\to 0^-}\frac{0}{\sin x^2}=0$. Y $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{\left[x^2\right]}{\sin x^2}=\lim_{x\to 0^+}\frac{0}{\sin x^2}=0$. Así que el límite existe y su valor es $0$.

Es correcto ?

Answer 1

Usted puede olvidarse de la ${\sin x^2}$ en el denominador como este hace que la fracción dentro del límite para evaluar a $\frac{0}{0}$, que es una forma indeterminada. es decir, Que no se puede dividir por $0$.

Lo que queremos emplear aquí es L'Hospital de la Regla de que, en los términos del laico, nos permite tomar la derivada de, tanto en el numerador y el denominador por separado. Se aplica esta regla en cualquier momento de nuestra fracción dentro de un límite evalúa a una forma indeterminada. Ex: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ , ...

En nuestro caso podemos simplificar el límite de: $$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin x^2}$$ A: $$\lim_{x\to 0}\frac{2x}{2x\cos x^2}$$ El $2x$ en el numerador y el denominador cancelar para simplificar el límite: $$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x^2}$$ En el que se evalúa para: $$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos (0)^2} = \frac{1}{1} = 1$$ Por lo tanto: $$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin x^2} = 1$$