Demostrar que $\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}$ es irracional para cada natural $n \ge 2$

Question

Quiero probar el que $\sqrt[n]{2}$ + $\sqrt[n]{3}$ es irracional para cada natural $n \ge 2$.

He intentado utilizar algunos teorema de mínima polinomios, pero me sale nada. También he probado a suponer que este número es racional $r=\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}$ y tome $3 = (r-\sqrt[n]{2})^n = ...$. Creo que esta será una buena manera, pero aquí tenemos un poco de lío.

Answer 1

El polinomio $P(z) = z^n - 2$ es irreducible sobre los racionales por el criterio de Eisenstein. Así que si $\alpha$ es una raíz de $P(z)$, $P(z)$ es su polinomio mínimo sobre los racionales. Ahora si $(\alpha - r)^n = b$ es racional donde $r$ es un cero racional, a continuación, $Q(z) = (z - r)^n - b - (z^n - 2)$ es un trivial polinomio de grado $n-1$ sobre los racionales tales que $Q(\alpha) = 0$.

Answer 2

Para agregar a Bob el bien de Israel respuesta, en general, existe un patrón de prueba de que lo que nos parece plausible es cierto: las raíces enésimas de (por ejemplo) distintos de los números primos son algebraicamente independientes como imaginamos que podría ser. Ha habido varias preguntas en este sitio, con muchas buenas respuestas, y yo soy demasiado perezoso para registro de ellos. Yo soy apenas no-perezoso suficiente para enlace a un PDF, escribí acerca de este tipo de problema hace un tiempo, en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/linear_indep_roots.pdf