Si $x$ es un número racional positivo menor que $\frac{1}{2}$ ¿la siguiente expresión logarítmica puede ser equivalente a un número algebraico real, por ejemplo $g$ ?
$$\frac{\log(1-x)}{\log x} = g$$
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Roger Hoover
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Su identidad da: $$ 1-x = x^g \tag{1}$$ donde $x\in\mathbb{Q}$ trivialmente da que el LHS es un número racional. Si $g$ no es un número racional, el Teorema de Gelfond-Schneider da que el RHS es un número trascendental, contradicción.
Así que $g$ tiene que ser un número racional. Pero para que $1-x$ y $x^g$ son números racionales con el mismo denominador, $g$ tiene que ser uno. Así que $x=\frac{1}{2}$ y $g=1$ es la única solución.
bassam karzeddin
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Si $x$ es un número racional positivo menor que $\frac{1}{2}$ ¿puede la siguiente expresión logarítmica ser equivalente a cualquier número real, digamos $r$ ?
$$\frac{\log(1-x)}{\log x} = r$$ , Donde $r$ es un número real positivo menor que uno,
Asumir primero $r$ es un número racional digamos $n/m$ entonces se obtendría esta ecuación, $x^n=(1-x)^m$ donde la solución para $x$ será claramente algebraico - número irracional contradiciendo el supuesto de racionalidad de $x$ Por lo tanto $r$ no puede ser un número racional y debe ser un número irracional, si es así, se obtiene la siguiente ecuación, $x^r = 1-x$ el lado derecho es un número racional, pero el lado izquierdo es un número trascendental según - el teorema de Gel-schneider, que contradice de nuevo la suposición de irracionalidad de $r$ ¿Cuál es el número que se supone que es?
Supongo que alguien dirá simplemente que es un número transcendental dado por definición, si es así asume $x$ una potencia entera de un número racional, por ejemplo $x=a^p$ , donde $p$ es un número primo impar, entonces por sustitución se obtiene esta sencilla ecuación que es una forma reducida de FLT para números racionales , $a^p + (a^r)^p = 1$ pero ya sabemos que $a^r = b$ , donde $b$ es un número racional que no existe a partir de la demostración de Andrew Wiles & Taylor del Último Teorema de Fermat, por lo que $log(b) / log(a)$ no es un número trascendental, es un tipo de números que hay que redefinir de nuevo y con precisión
