Pregunta sobre ideas equivalentes de continuidad absoluta de medidas.

Question

La medida de $\nu$ es absoluta continua con respecto a $\mu$ si para cada $A$, $\mu(A)=0$ implica $\nu(A)=0$ (indicado por $\nu \ll \mu$).
Hay un $\epsilon$-$\delta$ idea relacionada con esta definición:

Si $\nu$ es finito, entonces:
$\nu \ll \mu$ $\iff$ para cada $\epsilon$ existe una $\delta$ satisfacción $\nu(A)<\epsilon$ si $\mu(A)<\delta$

¿Cuál es la necesidad de la finitud de $\nu$? ¿Qué sucede si $\nu$ no es finito? ¿Hay algún ejemplo para mostrar que $\epsilon$-$\delta$ definición no si $\nu$ es infinito, incluso si $\nu\ll\mu$?

Answer 1

Aquí hay un contra-ejemplo:

Deje que$$\nu(E) = \int_E \frac{1}{x^2}dm(x)$$ where $ m$ denotes the Lebesgue measure. The measure $ \ nu $ no sea finito.

Luego$\nu \ll m$ pero$$\exists \epsilon=1>0 \quad \forall \delta>0 \quad \exists E=]0,\delta/2] \text{ measurable set such that } m(E)<\delta$$ but $ \ nu (A) ≥ \ epsilon$, because $ \ nu (E) = \ left [\ frac {-1} {x} \ right ] _0 ^ {\ delta / 2} = \ infty $.

Answer 2

Una dirección de la equivalencia siempre se mantiene, es decir, si el $\epsilon$-$\delta$ la condición se mantiene, entonces $\nu<<\mu$, porque si $\mu(A)=0$, entonces para todos los $\epsilon>0$ y su correspondiente $\delta>0$ tenemos $\mu(A)<\delta\implies \nu(A)<\epsilon$, y, por tanto,$\nu(A)=0$.

Para ver por qué la finitud de $\nu$ es importante, por lo tanto, debe examinar la otra dirección. Podemos trivialmente a contradecir si asumimos $\mu$ ser arbitrariamente pequeño, tales como la medida de Lebesgue, porque siempre se puede definir un $\mu$-absolutamente-medida continua por $$\nu(A) = \begin{cases}0 & \mu(A)=0\\ \infty & \mu(A)>0\end{cases}$$ Sin embargo, para tener una visión más clara, podemos examinar la prueba de la otra dirección al $\nu$ es finito, tal como se presenta, por ejemplo, en esta respuesta se basa en Folland del Análisis Real. La prueba depende de la continuidad de arriba finito de medidas, y como era de esperar, la medida de $\nu$ que hemos definido anteriormente, es un buen contraejemplo a la propiedad.