Confusión sobre el forzamiento del cociente

Question

Supongamos que $P_\alpha$ y $P_\delta$ son forzamientos donde $\alpha<\delta$ y estos se consideran miembros en un forzamiento iterado. Así que $P_\delta$ puede considerarse como una extensión de $P_\alpha$ es decir, los miembros de $P_\delta$ pueden considerarse como funciones con dominio $\delta$ . Entonces, si $G_\alpha\subseteq P_\alpha$ definimos $P_\delta/G_\alpha$ como el conjunto de todos los $p\in P_\delta$ tal que $p\upharpoonright \alpha \in G_\alpha$ .

Supongamos que $V[G_\alpha]\models \exists p\in P_\delta/G_\alpha p\Vdash_{P_\delta/G_\alpha} ``\varphi"$

Mi pregunta es:

¿Existe un $P_\alpha$ -nombre, $\tilde q$ para un miembro de $ P_\delta $ y un $r\in P_\alpha$ tal que (en $V$ )

$ r\Vdash_\alpha ``\tilde q\in P_\delta, \tilde q\upharpoonright \alpha\in G_\alpha$ y $ \tilde q\Vdash_\delta \varphi "$ ?

Answer 1

Sí.

Su suposición $V[G_\alpha]\models \exists p\in P_\delta/G_\alpha\colon (p\Vdash_{P_\delta/G_\alpha}\varphi)$ básicamente equivale a tener una condición en $P_\delta$ que obliga a $\varphi$ . Para ver esto, dejemos $r\in G_\alpha$ y $\tau$ a $P_\alpha$ -nombre, forzado por $r$ para estar en $P_\delta/G_\alpha$ sea tal que $r\Vdash_\alpha (\tau\Vdash_{P_\delta/G_\alpha}\varphi)$ . Suponiendo que todos los posets implicados son separativos (lo cual no es una gran suposición), debemos tener $r\leq \tau^{G_\alpha}\upharpoonright\alpha$ . Si ahora dejamos que $p=(r,\tau^G\upharpoonright(\alpha,\delta))\in P_\delta$ es evidente que $p\Vdash_\delta \varphi$ .

Así que, con esto en la mano, podemos simplemente tomar su $\tilde{q}$ para ser $\check{p}$ (la comprobación es con respecto a $P_\alpha$ ) y su $r$ para ser mi $r$ .