Encontrar la solución de la ecuación $(z+1)^5=z^5$

Question

Intento de resolver la ecuación

$(z+1)^5=z^5$ .

Mi primera aproximación es expandir el lado izquierdo pero ı obtener una ecuación más complicada. As'ı que no pude ir m'as lejos. En segundo lugar, escribo la ecuación como, ya que $z\neq0$ ,

$(\frac{z+1}{z})^5=1$ , poned $\xi=\frac{z+1}{z}$

e intentar resolver la ecuación equivalente $\xi^5=1$ . Pero esta vez requiere más cálculos para encontrar soluciones $z$ . ¿Puede alguien sugerir una forma sencilla de resolver esta ecuación? Gracias de antemano

Answer 1

$(z+1)^5=z^5$ implica que $|z+1|^2=|z|^2$ lo que implica que $x=\mathrm{Re}(z)=-\frac12$ . Entonces $\left(\frac12+iy\right)^5=\left(-\frac12+iy\right)^5$ es una ecuación cuadrática en $y^2$ .

Answer 2

Para resolver $\sqrt[n]{1}$ :

• Dibuja el círculo unitario
• Dibuja la primera solución, que obviamente es $1+0i=\cos(0)+\sin(0)i$
• Repita $n-1$ tiempos: encontrar la siguiente solución girando la solución anterior $\frac{2\pi}{n}$ radianes

Por ejemplo, $\sqrt[5]{1}$ :

• $\cos(0)+\sin(0)i$
• $\cos(\frac{2\pi}{5})+\sin(\frac{2\pi}{5})i$
• $\cos(\frac{4\pi}{5})+\sin(\frac{4\pi}{5})i$
• $\cos(\frac{6\pi}{5})+\sin(\frac{6\pi}{5})i$
• $\cos(\frac{8\pi}{5})+\sin(\frac{8\pi}{5})i$

Answer 3

Para aprovechar la simetría, ponga $z=w-\frac 12$ , lo que da $z+1=w+\frac 12$ .

Resolver:

$$\begin{align}(z+1)^5&=z^5\\ \left(w+\frac 12\right)^5&=\left(w-\frac 12\right)^5\\ 2\left[5w^4\left(\frac12\right)+10w^2\left(\frac 12\right)^3+\left(\frac 12\right)^5\right]&=0\\ 80w^4+40w^2+1&=0\\ w^2&=\frac{-40\pm\sqrt{1600-320}}{160}\\ &=-\frac14 \left(1+\frac25\sqrt5\right)\\ w&=\pm\frac i2\sqrt{1+\frac25\sqrt5}\\ z&=-\frac12 \pm\frac i2\sqrt{1+\frac25\sqrt5} \end{align}$$

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Método alternativo utilizando los comentarios en el OQ:

$$(z+1)^5=z^5\\ \left(\frac{z+1}z\right)^5=1\\ \left(1+\frac 1z\right)^5=1\\ 1+\frac 1z=e^{i2n\pi/5}\\ z=\frac 1{e^{i2n\pi/5}-1} $$

donde $n\in\Bbb{Z}$ .