El problema se presenta a continuación es de mi curso de geometría diferencial. La referencia inicial es Nelson, Análisis Tensorial de 1967. El coche se modela de la siguiente manera:
Denotar por $C(x,y)$ el centro de la rueda trasera de la línea, $\theta$ el ángulo de la dirección del coche con la dirección horizontal, $\phi$ el ángulo hecho por las ruedas delanteras con la dirección del coche y $L$ de la longitud del coche.
Los posibles movimientos del coche se denotan de la siguiente manera:
- dirección: $S=\displaystyle\frac{\partial}{\partial \phi}$;
- unidad: $D=\displaystyle\cos \theta \frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta \frac{\partial}{\partial y}+\frac{\tan \phi}{L}\frac{\partial}{\partial \theta}$;
- rotación: $R=[S,D]=\displaystyle\frac{1}{L\cos^2 \phi}\frac{\partial }{\partial \theta}$;
- traducción: $T=[R,D]=\displaystyle\frac{\cos \theta}{L\cos^2 \phi}\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\sin\theta}{L\cos^2\phi}\frac{\partial}{\partial x}$
Donde $[X,Y]=XY-YX$ (no recuerdo la palabra en inglés por ahora). Todas estas transformaciones parecen muy lógicas. Mi pregunta es:
¿Cómo podemos justificar la matemática de la interpretación que se ha hecho anteriormente, especialmente la parte con las rotaciones y traslaciones?
Las interpretaciones son bastante interesantes:
- a partir de la expresión de $D$, cuando el coche es más corta, puede cambiar la orientación del coche muy fácilmente, pero cuando es más largo, como un camión, no es fácil ( ver el término de con $\frac{\partial}{\partial \theta}$)
- la rotación es más rápida para los coches más pequeños, y para mayor ángulo de dirección
- la traducción es más fácil para los coches más pequeños.
