Ejemplo para el beneficio de la convergencia monótona.

Question

Quiero ver un ejemplo (preferiblemente simple) donde puedo aplicar la convergencia monótona a una secuencia de funciones$f_n$ pero donde no puedo intercambiar la limitación y la integración en términos de la integral de Riemann.

Por supuesto, esta secuencia de funciones no debería ser uniformemente convergente, pero la convergencia debería ser monótona.

Answer 1

Sea$(q_n)$ una enumeración de los racionales y considere la secuencia de funciones definidas$f_n(x) = \chi_{q_1, ..., q_n}(x)$. Luego$f_n(x) \to \chi_{\mathbb{Q}}(x)$ monótonamente, así que$\lim_n \int_E f_n = \int_E \lim_n f_n = \int_E \chi_{\mathbb{Q}}$ para cualquier conjunto medible$E$. Tenga en cuenta que no podemos sacar la misma conclusión en el sentido integrable de Riemann porque las funciones involucradas ni siquiera son integrables de Riemann.