Moonshine monstruoso para$M_{24}$?

Question

Esto está conectado a mi MO post "Monstruoso luz de la Luna para $M_{24}$ y K3?". En la página 44 de este documento, eqn(7.16) y (7.19) de rendimiento,

$$\begin{aligned}h^{(2)}(\tau)&=\frac{\vartheta_2(0,p)^4-\vartheta_4(0,p)^4}{\eta(\tau)^3}-\frac{24}{\vartheta_3(0,p)}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{q^{n^2/2-1/8}}{1+q^{n-1/2}}\\ &=\color{red}{m}\,q^{-1/8}(-1+45q+231q^2+770q^3+2277q^4+\dots)\end{aligned}$$

Fue observado por Eguchi, Ooguri, y Tachikawa que los cinco primeros coeficientes de la RHS son iguales a las dimensiones de las representaciones irreducibles de $M_{24}$.

Supongo que $q = p^2$, nome $p = e^{\pi i \tau}$, Jacobi funciones theta $\vartheta_n(0,p)$, Dedekind eta función de $\eta(\tau)$, y el 30 de coeficientes de $a_i$ de los RHS son dadas por OEIS A212301 como $2a_i$.

Pregunta:

El papel implica que $m=1$. Sin embargo, si la pruebo con $\tau=\sqrt{-n}$ por diversos entero positivo $n$, entonces parece m varía así. En particular, si $\tau=\sqrt{-1}$, que, al parecer,$m=2$. Que de mis suposiciones son erróneas, y ¿cómo podemos solucionarlo? (O es un error en Mathematica de nuevo?)

Answer 1

Ni usted ni Mathematica son los culpables.

Si cambia el coeficiente de $24$ frente a la suma de los $12,$ la expresión produce la serie deseada. Alternativamente, los siguientes ccorn comentario, puede cambiar la suma para que se ejecute desde $1$ $\infty$en lugar de $-\infty$$\infty$. En el documento se citan, escriben los autores $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb Z}.$ tal vez significaba $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb Z^+}.$

(He observado este por la expansión de ambos términos en la expresión y toma nota de que, después de la eliminación de la general, el factor de $p^{-1/4},$ ambos contienen no deseados impar poderes de $p.$ Estos términos no deseados, sin embargo, difieren entre los dos términos sólo por un factor de $2,$ y se cancela si el segundo término se reduce a la mitad.)