¿Son los vectores realmente independientes de los sistemas de coordenadas?

Question

Me han dicho que piense que los vectores existen independientemente de un sistema de coordenadas. Esto significa que la magnitud de un vector debe ser independiente de cualquier sistema de coordenadas que elijamos. Las transformaciones galileanas de la forma

$$ x' = x - vt $$

sin embargo, no conservan la magnitud de los vectores de velocidad. ¿Cómo es posible que un vector tenga una magnitud diferente en un sistema de coordenadas diferente?

Answer 1

Me han dicho que piense que los vectores existen independientemente de un sistema de coordenadas.

Sí. Porque los vectores representan hechos físicos. Esa cosa está a medio camino entre esas dos cosas. Este otro objeto se mueve directamente hacia Toledo. Y así sucesivamente.

Pero no cosas como "su coordenada x es de +7 metros", que no es sólo un hecho sobre la cosa, sino uno que enreda la elección del origen y la orientación de los ejes en la descripción. No hay ninguna razón para esperar que un hecho que depende del origen sea independiente de éste. Tampoco a priori cualquier razón para esperar que un hecho que depende de la orientación de los ejes sea independiente de esa orientación.

Lo que nos lleva a:

Esto significa que la magnitud de un vector debe ser independiente de cualquier sistema de coordenadas que elijamos.

No. El hecho físico representado por el vector sigue siendo el mismo, pero los valores numéricos utilizados para representar ese hecho dependen de cómo se decida medirlos (y "un acuerdo sobre cómo medir las posiciones" es una definición razonable de un sistema de coordenadas).

Ahora hay hechos numéricos sobre cantidades que son independientes de ciertas transformaciones de los sistemas de coordenadas. Las magnitudes de los vectores cartesianos son invariantes en las rotaciones del sistema de coordenadas. La magnitud de los vectores de Lorentz son independientes de esas rotaciones y de los aumentos. Y así sucesivamente. Pero la afirmación citada aquí sobregeneraliza eso.

¿Cómo es posible que un vector tenga una magnitud diferente en un sistema de coordenadas diferente?

Cuando las posiciones se tratan como posiciones vectoriales (lo que se hace a menudo en los cursos de introducción) son desplazamientos desde el origen. Pero eso hace explícito que al cambiar el origen cambiará el vector que se utiliza. Una transformación galileana es la que representa un origen que cambia continuamente, por lo que las posiciones y sus derivadas pueden no ser invariantes en tales transformaciones.

Answer 2

Un sistema de coordenadas no es lo mismo que un marco de referencia.

Un marco de referencia es básicamente un sólido considerado inmóvil, es decir, un punto y tres ejes.

Un sistema de coordenadas se basa en un marco, y se utiliza para determinar la posición de un punto.

Como explicó Steeve, una vez que se elige un marco,

La elección de una referencia diferente para describir los objetos en este espacio no cambia ninguna propiedad del objeto o del espacio. Es análogo a mirar desde una perspectiva diferente o a hablar en otro idioma. La magnitud es la misma a pesar de todo.

Los vectores son independientes del sistema de coordenadas. Sin embargo, dependen del marco, y la transformación galileana cambia el marco de referencia.

Sin embargo, las fuerzas son independientes del marco de referencia.

Answer 3

Las posiciones no son vectores. $x$ no es un vector. Hay dos cosas que se pueden hacer a los vectores: sumarlos y escalarlos. No tiene sentido hablar de la posición de Washington DC más la posición de la ciudad de Nueva York, o de la posición de Washington DC veces $2$ . Lo que podemos hacer es elegir arbitrariamente un punto y considerar el vector producido por la diferencia entre dos puntos. Sin embargo, el vector resultante depende del punto arbitrario que hemos elegido y que solemos llamar origen. Cualquier transformación que cambie el origen cambiará el vector que representa un punto. Por supuesto, el punto no cambia. La ciudad de Nueva York no se mueve si decido utilizar el Polo Sur como origen en lugar del Polo Norte. Las velocidades ya son vectores porque corresponden a (el límite de) la diferencia entre dos puntos.

Dejemos que $x$ ser el punto que nos interesa y $O$ sea el origen elegido arbitrariamente. Entonces existe un vector de desplazamiento $\mathbf r = x - O$ . $x$ es entonces $\mathbf r + O$ . Si mantenemos la distinción entre $x$ y $\mathbf r$ no hay confusión. $\mathbf r$ es independientemente del origen. "226 millas al noreste", como en "conducir 226 millas al noreste", significa lo mismo sin importar dónde estés o cómo llames al origen. (Al menos en un avión. En un globo terráqueo las cosas son más sutiles. La superficie de un globo no es un espacio afín. Véase el siguiente párrafo). $x$ también es independiente del origen. Lo que no es invariante es que $-\mathbf r + x$ es lo que actualmente llamamos "el origen". Si cambiamos el origen a $O' = \mathbf r' + O$ entonces tenemos $x = \mathbf r - \mathbf r' + O'$ . Si queremos saber qué $x - O'$ es que obtenemos $\mathbf r - \mathbf r'$ . Otra forma de formularlo es decir que tenemos una función, $f$ que asigna vectores de "posición" a los puntos. Esto es (parte de) nuestro sistema de coordenadas. Nuestra función original es $f(y) = y - O$ y tenemos $f(x) = \mathbf r$ . Cambiar el sistema de coordenadas significa elegir una función diferente, $g$ . En el caso anterior, $g(y) = y - O'$ . Ahora $g(x) = \mathbf r - \mathbf r'$ . Así que lo que cambia cuando cambiamos de sistema de coordenadas no es el punto $x$ o el vector $\mathbf r$ pero la asignación representada por la función $f$ . En este caso, podemos representar las transformaciones de los antiguos vectores de "posición" a los nuevos vectores de "posición" restando el vector $\mathbf r'$ . Los cambios de coordenadas más complicados pueden dar lugar a transformaciones más complicadas y sutiles. Por ejemplo, $f(y) = 1000(y-O)$ puede representar un cambio de kilómetros a metros. Obviamente, esto no hace que las cosas estén 1000 veces más lejos. En cambio, este cambio de coordenadas tiene un cambio compensatorio en nuestra noción de longitud, a saber, que se necesitan 1000 unidades en el nuevo sistema para equivaler a lo mismo que 1 en el antiguo. En otras palabras, tenemos un factor de conversión $1000\frac{\text{m}}{\text{km}}$ es decir, un vector con una magnitud de 1000 en nuestro nuevo sistema, es decir, de 1000 m de longitud, es el mismo que un vector con una magnitud de 1 en nuestro antiguo sistema, es decir, de 1 km de longitud. Siempre tendremos estos cambios compensatorios para cualquier cambio de coordenadas que se comporte bien (técnicamente llamado difeomorfismo). Esto no es más que un reflejo del hecho de que cambiar cómo etiquetamos partes de la realidad no cambia la realidad.

Técnicamente, un espacio en el que existe una noción bien definida de "diferencia entre dos puntos" se llama espacio afín . Hay una noción más general llamada torsor . Muchas nociones de la física se consideran más exactamente como torsores/espacios afines. Por ejemplo, una orientación en un plano es un torsor. No tiene sentido componer orientaciones, pero podemos considerar "relaciones" que llamamos rotaciones que llevan una orientación a otra. ¿Qué significa el noreste compuesto con el norte? Nada, es un sinsentido, pero es perfectamente razonable hablar de una rotación de 45° compuesta con una rotación de 90° que produce una rotación de 135°.

Desgraciadamente, gran parte de la literatura de física -especialmente al principio- confunde los espacios afines y los espacios vectoriales (y otros torsores con sus grupos), lo que lleva a este tipo de confusión y a otras similares. Recomiendo el enlace que di antes para los torsores.

Answer 4

Una cosa que puede causar cierta confusión es que hay algunas diferencias entre la forma en que los físicos tienden a pensar en los vectores y escalares y la forma en que los matemáticos tienden a pensar en ellos. Los físicos tienden a pensar en ellos de esta manera:

• Un vector 3 es un vector que se transforma bajo un cambio de base en el mismo modo que un desplazamiento espacial.
• Un vector 4 es un vector que se transforma bajo un cambio de base en el mismo modo que un desplazamiento del espaciotiempo.
• Un escalar es una cantidad que no cambia en absoluto bajo un cambio de base.

Basándome en estas ideas, creo que es útil introducir la idea de lo que yo llamo un "objeto incompleto", o IO. Un OI es un objeto matemático que no contiene suficiente información para poder transformarlo. Supongamos que voy a visitar Gettysburg y me pongo delante de la placa de bronce que marca el lugar de la batalla. Podría decir que tengo un vector de desplazamiento $\Delta\textbf{x}=0$ entre mi posición actual en el espacio y la posición donde se produjo el combate. Pero, por supuesto, todo esto es bajo el supuesto de que la tierra está en reposo. Ciertamente existe un marco de referencia galileano en el que $\Delta\textbf{x}=0$ pero hay otros marcos en los que $\Delta\textbf{x}\ne0$ . Este $\Delta\textbf{x}$ es un IO en el contexto de las transformaciones galileanas. Suponga que le digo que $\Delta\textbf{x}=0$ en un marco determinado, y luego le pedirá que encuentre el valor de $\Delta\textbf{x}$ en algún otro marco, digamos, un marco que se mueve hacia Sirio a $10^5$ m/s. Esto no es suficiente información. Para llevar a cabo el cálculo, también necesitarías saber el tiempo entre la batalla de Gettysburg y la actualidad. Para que el desplazamiento no sea un IO, tendríamos que cambiarlo por un vector 4.

El problema de los vectores 3 de velocidad es básicamente el mismo que el de los vectores 3 de desplazamiento. Un vector 3 de velocidad no es más que un desplazamiento dividido por un tiempo, por lo que es un IO bajo transformaciones galileanas. Relativamente, hacemos uso de vectores 4 de velocidad (que tienen una normalización arbitraria), y estos vectores 4 se transforman adecuadamente bajo una transformación de Lorentz (aunque no se combinan según la adición de vectores en el movimiento relativo).

Otro buen ejemplo de IO tiene que ver con el método habitual para calibrar la brújula magnética incorporada en algunas unidades de GPS de mano. Las instrucciones del dispositivo le indican que lo sostenga en un plano horizontal y gire lentamente 360 grados. Como el dispositivo cree en la invariancia rotacional, sabe cómo $B_x$ y $B_y$ debe transformarse, y si encuentra que $\sqrt{B_x^2+B_y^2}$ no se mantiene constante, puede recalibrarse para eliminar la discrepancia. Pero si más adelante inclinas el aparato para que no esté en un plano horizontal, se entristecerá y se confundirá. Esto le indica que $(B_x,B_y)$ es un IO, y hay que extenderlo a $(B_x,B_y,B_z)$ .

Otro ejemplo de OI es la densidad de carga $\rho$ . Para convertirlo en un objeto completo, hay que ampliarlo al vector 4 actual $(\rho,\textbf{j})$ .

Una cosa que hay que tener en cuenta en la relatividad galileana es que no hay métrica. No existe un sistema de medida unificado que mida tanto el tiempo como el espacio. Por lo tanto, aunque se pueden convertir los vectores de desplazamiento y velocidad en 4 vectores galileanos, que son objetos completos temerosos de Dios en lugar de OI, no se puede hablar de la magnitud de un 4 vector galileano.