Pregunta de ecuación diofántica

Question

Encontrar todos los pares ordenados $(x,y)$ de los números racionales $x, y$ de manera tal que las ecuaciones $2x^5 = x^2y^4 + 9y^5$ $6y^3 = 3x^3 + xy^3$ mantener simultáneamente.

Yo:

Multiplicando la segunda ecuación por $xy$, obtenemos $6xy^4 = 3x^4y +x^2y^4$

Ahora sustituyendo $x^2y^4$ en la primera ecuación, obtenemos

$$2x^5 = 6xy^4-3x^4y+9y^5.$$

Reorganizar, $2x^5+3x^4y = 6xy^4+9y^5$, por lo que

$$x^4(2x+3y) = 3y^4(2x+3y).$$

Usted puede obtener una relación entre el $x$ $y$ a partir de la última ecuación y sustituir de nuevo en cualquiera de la ecuación original para obtener los valores reales de a$x$$y$.

$$(x^4-3y^4)(2x+3y) = 0$$

Usted tendrá dos relaciones y sustituyendo de nuevo en la ecuación original se obtiene de los valores reales. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Su método está bien y es el camino a seguir aquí, pero he aquí una pequeña nota que usted debe prestar atención. En primer lugar, usted debe asumir que el $xy \neq 0$, debido a $0$ es, obviamente, un número racional. Después de hacer esto usted necesita para chech el caso al $xy = 0$

Así que después de llegar a $(x^4 - 3y^4)(2x + 3y) = 0$ se puede conseguir que la $2x + 3y = 0$, porque como Kevin han señalado $x^4 - 3y^4 = 0$ no tiene una solución racional a excepción de $x=y=0$, pero ese no es el valor permitido aquí.

Sou usted puede obtener una relación aquí:

$$x = \frac{-3y}{2} \forall y \in \mathbb{Q}; y \neq 0$$

El debe comprobar el caso al $xy=0$ y asumir WLOG que $x=0$, conectando en la ecuación obtenemos que $y=0$. Fortunaly si sustituimos $y=0$ en la relación que deriva de obtendríamos $x=0$, por lo que podemos decir:

$$x = \frac{-3y}{2} \forall y \in \mathbb{Q}$$

Pero en algún momento no va a ser el caso por lo que debes prestar atención a eso.