Semigrupo conmutativo, anillo, anillo conmutativo de funciones.

Question

Tengo problemas para solucionar los siguientes:

Deje $G$ ser un conmutativa semigroup, $R$ un anillo y definir

$R[G] = \{ f: G \rightarrow R \ | \ card \{g \in G \ | \ f(g) \neq 0 \} < \infty \}$.

Además es estándar : $(f_1+f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)$

Y la multiplicación se define como: $(f_1 \cdot f_2)(x) = \sum _{g_1g_2=x} f_1(g_1) \cdot f_2(g_2)$

Así que este es un conjunto de funciones de $G$ $R$no $0$ sólo para un número finito de $g$'s.

Tengo que demostrar que es un anillo conmutativo.

Es obvio que se trata de un grupo abelian, sin necesidad de utilizar el hecho de que $G$ es un semigroup (o al menos creo que yo no uso de eso). Si $f \in R[G] \Rightarrow -f \in R[G]$ $f=0$ es la adición de identidad aquí.

Creo que esta estructura es cerrado bajo la multiplicación, ya que si multiplicamos un valor distinto de cero por un valor distinto de cero, se obtiene un valor distinto de cero (y esto puede suceder sólo un número finito de veces) y si multiplicamos un valor por el valor cero, obtenemos cero, así que no pasa nada malo.

Tengo serios problemas demostrando que la multiplicación es conmutativa.

Me podrían ayudar con eso?

Answer 1

Puede ayudar si hemos simplificado la tarea un poco. Considerar las funciones $\hat{g}:G\to R$ que se $1$ $g$ y cero en otro lugar.

Para hacer que una función que es $r$ $g$ en lugar, usted sólo tiene que utilizar la función de $r\hat{g}=\hat{g}r$. Usted puede obtener una nueva función de $G$ a $R$ en cualquier momento mediante la multiplicación por un elemento de a $R$ como esta.

¿Qué estas, como cuando aplicamos la definición de la multiplicación? Bien, $(r\hat{g})(s\hat{h})$ sólo es distinto de cero en $gh$, donde se tiene el valor de $rs$, y eso significa que $(r\hat{g})(s\hat{h})=rs(\widehat{gh})$

¿Qué acerca de una función que es distinto de cero en más lugares? Ya que hay sólo un número finito distinto de cero lugares, usted puede conseguir cualquier función que se desee mediante la adición de un número finito de las funciones que ya hemos mencionado: $\sum r_g\hat{g}$. Cada función se descompone de esta manera.

Pero, a continuación, ver: si usted demostrar que $r\hat{g}\cdot s\hat{h}=s\hat{h}\cdot r\hat{g}$ todos los $r,s\in R$$g,h\in G$, después de que la distribución de un producto$(\sum r_g\hat{g})(\sum s_h\hat{h})$$(r_g\hat{g})(s_h\hat{h})=r_gs_h(\widehat{gh})$, es obvio que si $R$ $G$ han conmutativa de la multiplicación, estas pequeñas términos viaje y lo hace todo el producto.

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En mi humilde opinión, la representación funcional de la semigroup anillo oculta este hecho, más de la "construcción formal" de $R[G]$.

En ese esquema, que formalmente que los elementos de la forma $\sum r_gg$ donde$r_g\in R$$g\in G$, y sólo un número finito de la $r_g$ son cero. La suma y la multiplicación se define en las formas evidentes: agregar en "términos semejantes" (elementos de $G$) y la multiplicación es sólo distributivamente multiplicar estas cantidades como lo harías con polinomios.

Esto es equivalente a las sugerencias que me dieron con el $\hat{g}$ por encima. Así como el $g$ formalmente generar esta construcción, el $\hat{g}$ generado la construcción funcional.

Answer 2

No veo ningun problema Si$R$ es conmutativo, entonces$$(f_1 \cdot f_2)(x) = \sum _{g_1+g_2=x} f_1(g_1) \cdot f_2(g_2)= \sum _{g_2+g_1=x} f_2(g_2) \cdot f_1(g_1)=(f_2 \cdot f_1)(x).$ $

Si$R$ no es conmutativo,$ab\ne ba$, entonces establezca$f_1(x)=f_2(x)=0$ para$x\ne 1$ (por simplicidad supongo que$G$ tiene un elemento de identidad) y$f_1(1)=a$, $f_2(1)=b$, entonces $f_1\cdot f_2\ne f_2\cdot f_1$.