Suma por partes de $\sum_{k=0}^{n}k^{2}2^{k}$

Question

Quiero evaluar esta suma $$\sum_{k=0}^{n}k^{2}2^{k}$$ por suma por partes (dos veces) y necesito saber, si mi enfoque fue correcto.

Conozco la fórmula para suma por partes es $$\sum u\Delta v=uv-\sum\left(Ev\right)\Delta u$$ donde $E\left(v\left(x\right)\right)=v\left(x+1\right)$ y $(v(x))=v(x+1)-vx)$ .

Además, si $f$ es un Antiderivada de $g$ Conozco la fórmula $$\sum_{k=a}^{b}g\left(k\right)=f\left(b+1\right)-f\left(a\right)$$

Primero elijo $u=x^{2}$ . Es decir $\Delta u=\Delta x^{2}=2x+1$ . Elija $v=2^{x}$ . Es decir $\Delta v=2^{x}$ . Entonces me sale

$$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}k^{2}2^{k} &=& \sum_{0}^{n+1}x^{2}2^{x} \\ &=& \left.x^{2}*2^{x}\right|_{0}^{n+1}-\sum_{0}^{n+1}2^{x+1}(2x+1) \\ &=& (n+1)^2 2^{n+1}-\sum_{0}^{n+1}2x2^{x+1}+2^{x+1} \\ &=& (n+1)^2 2^{n+1}-4\sum_{0}^{n+1}x2^{x} - 2\sum_{0}^{n+1}2^{x} \end{eqnarray*}$$

Ahora elija $u(x)=x$ . Es decir $\Delta u=\Delta x=1$ . Elija $v=2^{x}$ . Es decir $\Delta v=2^{x}$ y $E(v(x))=2^{x+1}$ . Entonces

$$\begin{eqnarray*} \sum_{x=0}^{n+1}x2^{x+1} &=& \left[x2^{x}-2^{x+1}\right]_{0}^{n+1} \\ &=& ((n+1)-1)2^{(n+1)+1}+2 \\ &=& n2^{n+2}+2 \end{eqnarray*}$$

Juntando esos dos cálculos se resuelve en $$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}k^{2}2^{k} &=&(n+1)^2 2^{n+1}-2\sum_{0}^{n+1}x2^{x+1} - \sum_{0}^{n+1}2^{x+1} \\ &=& (n+1)^2 2^{n+1}-2(n2^{n+2}+2) - (n+2)2^{x} \\ &=& 2^{n+1}(n^2+2n+1) -4(n2^{n+2}+2) - 2(n+2)2^{x} \\ &=& 2^{n+1}(n^2+2n+1-8n-(n+2))-8 \\ &=& 2^{n+1}(n^2-7n-1)-8 \\ \end{eqnarray*}$$

Pero Mathematica dice $$2^{n+1} ((n-2) n+3)-6 = 2^{n+1} (n^2-2n+3)-6$$ ¿Dónde está mi culpa?

Actualización

He puesto los cálculos correctos como respuesta más abajo.

Answer 1

Ha calculado erróneamente la diferencia de $x^2$ . Introdúcelo directamente en la definición.

(Y siempre puede comprobar su cálculo observando valores pequeños de $n$ . En particular, debería tener 0 para $n=0$ . Para localizar el error, es aconsejable realizar una "búsqueda binaria": Poner $n=0$ en algún punto intermedio para ver si el error se produjo en la primera mitad o en la segunda, etc.)

Answer 2

Volví a calcularlo con lápiz y papel después de dejar pasar un poco de tiempo. ¡Y lo conseguí! Cometí algunos errores básicos, de los que me avergüenzo ahora, que los veo. Pero se aprende cualquier * amable * de errores, ¿no? ;-)

Aquí el cálculo correcto:

Primero calculé

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n} k 2^{k} \end{equation*}

por suma por partes . Elegí $x=u$ y $\Delta 2^x=v$ . Esto me dio $\Delta x=1$ y $v=2^x$ . Veo la integración descreta de $2^x$ se comporta como la integración analítica de $e^x$ . (Espero que el vocabulario que he utilizado aquí sea correcto, el inglés no es mi lengua materna. :-))

$$ \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} k 2^{k} &=& \sum_{0}^{n+1}x2^{x} \\ &=& \left[x2^{x}\right]_{0}^{n+1}-\sum_{0}^{n+1}2^{x+1}\cdot 1 \\ &=& \left(n+1\right)2^{n+1}-2\sum_{0}^{n+1}2^{x} \\ &=& \left(n+1\right)2^{n+1}-2\left(2^{n+1}-1\right) \\ &=& n2^{n+1}+2^{n+1}-2\cdot2^{n+1}+2 \\ &=& n2^{n+1}-2^{n+1}+2 \\ &=& 2^{n+1}\left(n-1\right)+2 \end{eqnarray*} $$ Ahora puedo evaluar

\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n} k^2 2^{k} \end{equation*}

Para ello elegí $x^2=u$ y $\Delta 2^x=v$ . Esto me dio $\Delta x=2x+1$ y $v=2^x$ . Ahora la suma por partes y algunos cálculos básicos dan como resultado

$$ \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}k^{2}2^{k} &=& \sum_{0}^{n+1}x^{2}2^{x} \\ &=& \left[x^{2}2^{x}\right]_{0}^{n+1}-\sum_{0}^{n+1}2^{x+1}\left(2x+1\right) \\ &=& \left(n+1\right)^{2}2^{n+1}-\left(\sum_{0}^{n+1}2x2^{x+1}+2^{x+1}\right) \\ &=& \left(n^{2}+2n+1\right)2^{n+1}-\left(4\sum_{0}^{n+1}x2^{x}+2\sum_{0}^{n+1}2^{x}\right)\\ &=& \left(n^{2}+2n+1\right)2^{n+1}-\left(4\left(\left(n-1\right)2^{n+1}+2\right)+2\left[2^{x}\right]_{0}^{n+1}\right) \\ &=& \left(n^{2}+2n+1\right)2^{n+1}-\left(4\left(\left(n-1\right)2^{n+1}+2\right)+2\left(2^{n+1}-1\right)\right) \\ &=& \left(n^{2}+2n+1\right)2^{n+1}-\left(4\left(\left(n2^{n+1}-2^{n+1}\right)+2\right)+2\cdot2^{n+1}-2\right) \\ &=& \left(n^{2}+2n+1\right)2^{n+1}-\left(4\left(n2^{n+1}-2^{n+1}\right)+8+2\cdot2^{n+1}-2\right) \\ &=& \left(n^{2}+2n+1\right)2^{n+1}-\left(4n2^{n+1}-42^{n+1}+8+2\cdot2^{n+1}-2\right) \\ &=& \left(n^{2}+2n+1\right)2^{n+1}-4n2^{n+1}+42^{n+1}-8-2\cdot2^{n+1}+2 \\ &=& 2^{n+1}\left(\left(n^{2}+2n+1\right)-4n+4-2\right)-8+2 \\ &=& 2^{n+1}\left(n^{2}-2n+3\right)-6 \\ &=& 2^{n+1}\left((n-2)n+3\right)-6 \end{eqnarray*} $$

que es exactamente lo que WolframAlpha proclama. Gracias a quien haya sugerido correcciones :-)