Cómo demostrar que $2\sqrt{a^{ea}b^{eb}}\ge a^{eb}+b^{ea}$ para $a > 0, b > 0$ ?

Question

Dejemos que $a,b\in R^{+}$ . Demostrar que $$2a^{\frac{ea}{2}}b^{\frac{eb}{2}}\ge a^{eb}+b^{ea} \>.$$

Mi intento

Sé que la siguiente desigualdad es verdadera: $$a^{ea}+b^{eb}\ge a^{eb}+b^{ea} \>.$$

Ver este post en AoPS o S. Manyama (2010), Solución de una conjetura sobre desigualdades con funciones de potencia exponencial , The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications , vol. 7, nº 2.

Pero mi problema es mucho más fuerte (porque $a^2+b^2\ge 2ab$ ) y no puedo resolverlo.

Answer 1

Dejemos que $b=a/2$ :

\begin{align*}\frac{RHS}{LHS} &= \frac{a^{ea/2}+(a/2)^{ea}}{2 a ^{ea/2 }(a/2)^{e(a/2)/2}} \\ &= \frac{1}{2(a/2)^{ea/4}} + \frac{a^{ea/4}}{2^{1+3ea/4}}\end{align*}

que tiende a $\infty$ como $a\to\infty$ porque $\displaystyle\frac{a^{ea/4}}{2^{1+3ea/4}} \to \infty$ .

Esto significa que para todo lo suficientemente grande $a$ los pares $(a,b)=(a,a/2)$ son contraejemplos.