¿Qué grupos de Lie son también espacios simétricos?

Question

He revisado parte de la bibliografía al respecto, pero no he podido encontrar una respuesta a las siguientes preguntas sencillas (probablemente porque no soy un experto):

P1: Sea G un grupo de Lie con una métrica invariante a la izquierda. ¿Cuáles son algunos criterios sencillos para que G sea simétrico, es decir, para que G admita, para cualquier punto y geodésica que pase por ese punto, una isometría que invierta esa geodésica?

P2: En tres dimensiones, en términos de las constantes de estructura, se pueden calcular fácilmente y de forma muy concreta todos los grupos simplemente conectados. ¿Existe un criterio para recorrer la lista de grupos de Lie tridimensionales, observar las constantes de estructura y decidir cuáles son espacios simétricos?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Supongamos que la métrica es bi-invariante. (Siempre se puede encontrar una métrica de este tipo si $G$ es compacto; véase el comentario de Amitesh Datta más abajo). Entonces las geodésicas que parten de la identidad son subgrupos de un parámetro (y por invariancia esto determina lo que son las geodésicas en cualquier otro lugar), y la isometría que invierte esas geodésicas es $g \mapsto g^{-1}$ .

Answer 2

Una respuesta a la P2 es: $G$ es un espacio simétrico si y sólo si la métrica invariante a la izquierda es bi-invariante.

La respuesta de Qiaochu Yuan explica por qué es un criterio suficiente. Queda por comprobar que también es un criterio necesario. Para ello, supongamos $G$ está dotado de una métrica invariante a la izquierda, pero no bi-invariante, y es un espacio simétrico. Entonces, $G$ debe ser uno de los espacios simétricos de la clasificación de Cartan https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_space#Classification_result . Ninguno de esos espacios simétricos tiene dimensión 3, lo cual es una contradicción.

Una respuesta a la P1 que es inútil para las pruebas generales, pero que puede ser útil en casos especiales, es: Para $G$ para ser un espacio simétrico, tiene que estar en una de las dos clases:

1. $G$ está dotado de una métrica bi-invariante.
2. $G$ está dotado de una métrica invariante a la izquierda, pero no bi-invariante.

En el caso 1 se trata automáticamente de un espacio simétrico, como ya se ha dicho.

En el caso 2 es isométrico a un espacio simétrico $M=B/K$ . La descomposición de Iwasawa $\mathfrak{b}=\mathfrak{k \oplus a \oplus n}$ da lugar a un subgrupo $AN \subset B$ . Este subgrupo lleva una métrica invariante a la izquierda y es isométrico a $M$ y, por lo tanto, a $G$ . Por lo tanto, un criterio necesario y suficiente para $G$ para ser un espacio simétrico es que es isométrico al subgrupo de Iwasa $AN$ de algún espacio simétrico. Por supuesto, esto en sí mismo no es útil en absoluto. Sin embargo, se podría escribir una lista de todos los posibles $AN$ y luego comprobar si un determinado $G$ aparece en la lista. Si lo hace, es un espacio riemanniano. Si no es así, hay que comprobar si es isométrico respecto a cualquier entrada de la lista, lo cual es ciertamente difícil.