¿Qué significa que el campo$\mathbb{F}_{p^n}$ "contiene" el campo principal$\mathbb{Z}_p$?

Question

He leído en algunos libros (por ejemplo Computacional Teoría de los números, página 77) que cualquier extensión de campo $\mathbb{F}_{p^n}$ "contiene" como un subcampo el primer campo de $\mathbb{Z}_p$?

¿Qué significa exactamente "contiene"? Desde las representaciones de los dos campos no son las mismas (tenemos que utilizar polinomios o alguna otra estructura para representar a $\mathbb{F}_{p^n}$, mientras que utilizamos aritmética modular para representar a $\mathbb{Z}_p$), ¿cómo podemos decir que una contiene a la otra? Que es lo que realmente significa que contiene un campo que es isomorfo a $\mathbb{Z}_p$?

Por ejemplo, podemos representar a $\mathbb{F}_{3^2}$ el uso arbitrario de símbolos $\{0, 1, a, b, c, d, e, f, g\}$ o por pares $\{(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)\}$. ¿Cómo funciona este "contener" a $\mathbb{Z}_3$?

Esto está más relacionado con la perspectiva computacional, así por ejemplo, si estoy trabajando en $\mathbb{F}_{p^n}$, ¿cómo puedo representar el subcampo y trabajar directamente en los números enteros?

Además, si el subcampo es en sí mismo un campo de ampliación (es decir, $\mathbb{F}_{p^m}$ para algunos $m$ que divide $n$), ¿cómo puedo usar una menor estructura de datos para representar a ella, mientras que al mismo tiempo mantenerlo también parte de $\mathbb{F}_{p^n}$?

Answer 1

Técnicamente, significa que un isomorfo copia de $\Bbb{Z}_p$ es de $\Bbb{F}_{p^n}$. Por ejemplo, en $\Bbb{F}_9$, la constante de polinomios será una isomorfo copia de $\Bbb{Z}_3$.

$$\begin{align*} \Bbb{F}_9 & =\Bbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle\\ & =\{ax+b \, | \, a,b \in \Bbb{Z}_3, x^2+1 \equiv 0\}\\ &=\{0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2\} \end{align*}$$

Entonces el conjunto de constante polinomios $\{0,1,2\}$ es isomorfo a $\Bbb{Z}_3$.

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Con su versión editada:

$\Bbb{F}_{p^n}$ puede ser pensado como un espacio vectorial sobre el campo de escalares $\Bbb{Z}_p$. Así, cada objeto en $\Bbb{F}_{p^n}$ es $n-$tupla vector (esto es muy similar a la polinomio de representación que he utilizado anteriormente).

Así que considere el conjunto de los vectores $$S=\{(0,0,\ldots ,c) \, | \, c \in \Bbb{Z}_p\}.$$ Este conjunto en $\Bbb{F}_{p^n}$ es isomorfo a $\Bbb{Z}_p$.

Answer 2

La asignación de ${\Bbb Z}_p\rightarrow {\Bbb F}_{p^n}$ dado por $a\mapsto a\cdot 1$, donde $a\cdot 1 = 1+\ldots+1$ ($a$-tiempos) es la $a$-varios de $1$ e $1$ es la unidad de elemento de ${\Bbb F}_{p^n}$, es un (anillo) monomorphism. De esta manera, ${\Bbb F}_{p^n}$ contiene una isomorfo copia de ${\Bbb Z}_p$.