Evaluando$\sum_{n=0}^{\infty}ne^{1-n}$ usando cálculo

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral que apareció en el MIT Integración de la Abeja de 2015, lo que implica que la función del suelo.

$$\int_{0}^{\infty}\left(xe^{1-x}-\lfloor x\rfloor e^{1-\lfloor x\rfloor}\right)\mathrm dx$$

Mi Intento:

$$\begin{aligned}\mathrm I &=\int_{0}^{\infty}xe^{1-x}\mathrm dx-\sum_{n=0}^{\infty}\int_{n}^{n+1}ne^{1-n}\mathrm dx\\ &= e-\sum_{n=0}^{\infty}ne^{1-n}=e\biggl(1+\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{1-n}\right)'\biggr)\end{aligned}$$

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Yo estoy atascado en este paso, porque yo no soy capaz de averiguar cómo evaluar esta suma. Sé que es una forma de utilizar la diferenciación para obtener una expresión para la suma, pero no estoy seguro de cómo proceder. Una pista en la dirección correcta sería apreciada. Gracias

Nota: Esto es diferente de Cómo se pueden evaluar $\sum_{0}^{\infty}(n+1)x^n$? . Este problema consiste en traer a la suma en la forma de la que la diferenciación se obtendrá el resultado.

Answer 1

Gracias a la motivación de @Gerry Myerson. Estoy tratando de responder a mi propia pregunta. Deje que la integral en cuestión se denota por a$\mathrm I$ .$$\begin{aligned}\mathrm I &=\int_{0}^{\infty}xe^{1-x}\mathrm dx-\sum_{n=0}^{\infty}\int_{n}^{n+1}ne^{1-n}\mathrm dx\\ &= e-\sum_{n=0}^{\infty}ne^{1-n}=e-\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{1-n}x^n\right)'\end{aligned}$$

Para la suma, la diferenciación $\sum_{n=0}^{\infty}e^{1-n}x^n$ término a término es el camino a seguir. $$e\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{x}{e}\right)^n=\dfrac{e^2}{e-x}\implies \sum_{n=0}^{\infty}ne^{1-n}x^{n-1}=\dfrac{e^2}{(e-x)^2}$$

Conectar $x=1$ y, en consecuencia, el valor de la suma infinita en el valor de la expresión de la integral se obtiene: $$\mathrm I =e-\dfrac{e^2}{(e-1)^2}=\dfrac{e^3-3e^2+e}{e^2-2e+1}$$