Dado $f$ es continua y $f(x)=f(e^{t}x)$ para todos $x\in\mathbb{R}$ y $t\ge0$ , demuestran que $f$ es una función constante

Question

Esta pregunta se formuló en Prueba de acceso al ISI BStat / BMath 2018 :

Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una función continua tal que para todo $x\in\mathbb{R}$ y $t\ge 0$ , $$f(x)=f(e^{t}x)$$ Demostrar que $f$ es una función constante.

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Mi intento:

Supongamos que $f$ no es una función constante. Entonces $f(0)\ne f(x_0)$ para algunos $x_0 \in \mathbb{R}$ . Eliminamos las posibilidades de que $x_0>0$ y $x_0<0$ demostrando así que nuestra suposición era errónea.

Caso 1: ( $x_0>0$ ). Sea $k$ sea cualquier número real entre $f(0)$ y $f(x_0)$ (no incluido). Entonces, por el teorema del valor intermedio, existe $y_0 \in (0, x_0)$ tal que $f(y_0)=k$ . Pero $f(y_0)=f\left( e^{\ln \left( \frac{x_0}{y_0}\right) } y_0\right) = f(x_0)$ lo que contradice nuestra suposición de que $f(y_0)$ fue entre $f(0)$ y $f(x_0)$ .

Caso 2: ( $x_0<0$ ). Sea $k$ sea cualquier número real entre $f(0)$ y $f(x_0)$ (no incluido). Entonces, por el teorema del valor intermedio, existe $y_0 \in (x_0, 0)$ tal que $f(y_0)=k$ . Pero $f(x_0)=f\left( e^{\ln \left( \frac{y_0}{x_0}\right) } x_0\right) = f(y_0)$ , una contradicción de nuevo.

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¿Esta prueba es correcta? Probablemente buscaba una prueba directa si es que existe. Las pruebas alternativas son bienvenidas.

Answer 1

Una prueba alternativa: poner $x=e^{-t}$ para conseguir $f(e^{-t})=f(1)$ para todos $t \geq 0$ . Esto implica $f(x)=f(1)$ para todos $x \in (0,1]$ . A continuación, observe que $f(x)=f(2x)$ para todos $x$ : sólo toma $t=\ln (2)$ ). Ahora se ve fácilmente que $f(x)=f(1)$ para todos $x >0$ . Desde $f(-x)$ satisface la misma hipótesis se deduce que $f$ es una constante en $(-\infty, 0)$ también. Por continuidad, los valores constantes de $x <0$ y $x >0$ debe ser el mismo.

Answer 2

Su argumento es correcto. Además, a raíz de lo que hiciste, se me ocurrió el siguiente argumento constructivo. Comprueba si es correcto -

En primer lugar, considere $y>x>0$ y que $t = \ln(\frac{y}{x})$ es decir $e^t = \frac{y}{x}$ .

Entonces, $f(x) = f(e^tx) = f(y)$ .

Como esto es válido para todos los $y>x>0$ Debemos tener $f(x) = C_+$ para $x>0$

Del mismo modo, para $y<x<0$ , dejemos que $t = \ln(\frac{|y|}{|x|})$ .

Entonces, de nuevo, $f(x) = f(e^tx) = f(\frac{|y|}{|x|}x) = f(y)$ .

Como esto es válido para todos los $y<x<0$ Debemos tener $f(x) = C_-$ para $x<0$

Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer ahora es comprobar en $x=0$ . En este punto, utilizaremos la continuidad.

Como $f(x)$ es continua en todas partes en $\mathbb{R}$ es continua en $x=0$ . Por lo tanto, tenemos $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^-} f(x) = f(0)$ .

Por lo tanto, obtenemos $C_+ = C_- = f(0)$ es decir $f(x)$ es una función constante.

Answer 3

Sabemos que utilizando la continuidad de $e^t$

• $x> 0 \Rightarrow xe^t: [0,+\infty) \stackrel{t \mapsto xe^t}{\longrightarrow}[x,+\infty) \Rightarrow \forall y\geq x: f(x) = f(y) $
• $x< 0 \Rightarrow xe^t: [0,+\infty) \stackrel{t \mapsto xe^t}{\longrightarrow}(-\infty, x] \Rightarrow \forall y\leq x: f(x) = f(y)$

Así que, $f(x) = c_1 = f(-1)$ en $(-\infty, 0)$ y $f(x) = c_2 = f(1)$ en $(0, +\infty)$ .

Desde $f$ es continua en $0$ tenemos $c_1= \lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0) = \lim_{x\to 0^+}f(x) = c_2$ . Así que, $f$ es constante en todas partes.