El problema de Cauchy $\begin{cases}y'=1+\lvert y\rvert^{1/3}\\ y(0)=0\end{cases}$ ha $v$ no Lipschitz en cualquier barrio de el valor inicial, sin embargo, tiene solución única en $\Bbb R$: es decir, $y$ es la función inversa de la $\int_0^x(1+\lvert t\rvert^{1/3})^{-1}\,dt$.
Sí, $\gamma$ se vincula hace entrar en juego; véase, por ejemplo, el problema de Cauchy $\begin{cases} y'=1+y^2\\ y(0)=0\end{cases}$, que tiene solución $\tan x$, y todos sabemos lo que pasa por $T=\frac\pi2$.
Como para el problema en la mano, vamos a llamar a revisión la notación que $g^i:\Bbb R^n\to\Bbb R$ es el $i$-ésima componente de la función de $g:\Bbb R^n\to\Bbb R^n$. La misma notación será adoptado por vectores.
Recordar que:
dada una función de $f:[0,T)\to\Bbb R^n$ y algunos $c\in\Bbb R^n$, a continuación, $\lim_{t\to T^-} f(t)=c$ si y sólo si para todas las secuencias de $t_k\nearrow T$ hay una larga $\lbrace t_{k_h}\rbrace_{h\in\Bbb N}$ tal que $\lim_{h\to\infty} f\left(t_{k_h}\right)=c$.
una función continua $f:\Bbb R^n\to\Bbb R^n$ mapas limitada a los conjuntos de conjuntos acotados, porque el cierre de un conjunto acotado es compacto.
Considere algunas de secuencia $s_k\nearrow T$. Desde $\gamma(s_k)$ es un almacén de secuencia en $\Bbb R^n$, no es convergente subsequence $\gamma\left(s_{k_h}\right)\to c\in \Bbb R^n$. Tenemos que demostrar que el $c=\lim_{t\to T^-} \gamma(t)$. Deje $t_n\nearrow T$ ser cualquier secuencia y vamos a seleccionar un subsequence $t_{n_h}$ tal que $\gamma\left(t_{n_h}\right)\to b\in\Bbb R^n$. Asumir como una contradicción que $c^i\ne b^i$ para algunos $i\in\{1,\cdots,n\}$ (nótese que esto es posible sólo si $s_{k_h}\ne t_{n_h}$ eventualmente). A continuación, vamos a considerar $u_h=\left\lvert \frac{\gamma^i\left(s_{k_h}\right)-\gamma^i\left(t_{n_h}\right)}{s_{k_h}-t_{n_h}}\right\rvert$. Por Lagrange, para todos los $h$ hay algo de $\tau_h\in\left(\min\left\{s_{k_h},t_{n_h}\right\},\max\left\{s_{k_h},t_{n_h}\right\}\right)$ tal que $u_h=\lvert \gamma'^i(\tau_h)\rvert=\lvert v^i(\gamma(\tau_h))\rvert$. Desde $u_k$ es en la imagen del conjunto acotado $\gamma[0,T)$ el (a nivel global) función continua $\lvert v^i\rvert$, sabemos que $u_k$ debe estar acotada.
Sin embargo, desde el $b^i\ne c^i$, $$\lim_{h\to\infty}\left\lvert \frac{\gamma^i\left(s_{k_h}\right)-\gamma^i\left(t_{n_h}\right)}{s_{k_h}-t_{n_h}}\right\rvert=\left[\left\lvert\frac{c^i-b^i}{T-T}\right\rvert\right]=\left[\left\lvert\frac{c^i-b^i}{0}\right\rvert\right]=\infty$$ Absurd. Therefore $c^i=b^i$ for all $i$ and $c=\lim_{t\T^-} \gamma(t)$.
Por lo $\widehat\gamma(t)=\begin{cases}\gamma(t)&\text{if }t\in[0,T)\\ c&\text{if }t=T\end{cases}$ se extiende de forma continua $\gamma$ a $[0,T]$. Desde $\lim_{t\to T^-}\widehat\gamma'(t)=v\left(\widehat\gamma(t)\right)$ existe $\widehat\gamma$ también es derivable por la izquierda, y se resuelve el problema de Cauchy. También es completamente determinado por $\gamma=\left.\widehat\gamma\right\rvert_{[0,T)}$.
