¿Cómo mostrar que$f(z)= 1/(z-a)$ es periódico con el período$2\pi i$?

Question

Del libro de Ahlfor, Análisis complejo, página 149:

"La función particular $1/(z-a_j)$ tiene el período $2\pi i$ ."

¿Cómo puede uno ver que esto es verdad? Intenté escribir $z$ como $|z| e^{i \arg{z}}$ y usar la definición de $f(z+\omega)=f(z)$ periódico, pero parece que no puedo resolver los detalles de esta manera.

Answer 1

Ahlfors está hablando de un tipo diferente de período de allí, que no son las mismas en períodos en la definición de las funciones periódicas. De hecho, en la página 147 Ahlfors define los períodos a ser los valores de las integrales de contorno $$\int_{\gamma_i}f\,dz,$$ donde $\gamma_i$ son una homología de base del dominio. En el caso de que el dominio de $\Omega'=\{0<|z-a_j|<\delta_j\}$ discutidos en el citado pasaje, la homología de base, precisamente, uno de los elementos $\gamma$, que es un bucle en sentido antihorario $\gamma$ ir una vez alrededor de $a_j$ contenida en $\Omega'$ (también tomaríamos de las agujas del reloj bucle, que iba a cambiar el signo del resultado, pero nada más), y por lo tanto nosotros tenemos exactamente un período de $f(z)=\frac{1}{z-a_j}$, es decir, $$\int_\gamma\frac{dz}{z-a_j}=2\pi i.$$

También me gustaría mencionar que la terminología, aunque tal vez confuso, no es injustificado. Hay una teoría general de explicar, pero me explico que en un caso especial de la función de $\frac{1}{z}$.

Como usted probablemente sabe, si fijamos un punto de base $1$, entonces para $z_0\neq 0$ el valor de una integral $$\int_1^{z_0}\frac{dz}{z}$$ no está bien definido, de hecho, depende de la elección del camino de $1$ a $z_0$. Sin embargo, se puede considerar un "varios valores de la función", la cual surge de esta manera, considerando todos los valores posibles. Este, como se puede fácilmente averiguar por ti mismo, es el logaritmo de la función de $\log z$. Por otra parte, mientras que esta función no está bien definida, su función inversa, $e^z$, es, y además es, sorpresa, periódica con período de $2\pi i$! En realidad se puede averiguar eso directamente desde el hecho de que la integral sobre un círculo es igual a $2\pi i$.

En general, esto es más complicado, porque hay que considerar las integrales de funciones múltiples (o, más precisamente, las formas diferenciales); esencialmente, esto significa que usted tiene que elegir una base, no sólo de la homología, pero también cohomology. Sin embargo, la idea es básicamente la misma.

Answer 2

No es periódico en ese sentido. Por período se refiere a la integral sobre un pequeño círculo sobre $a$ , y sabes que esto es $2\pi i$ .