Sé que la Serie de Taylor son infinitas sumas que representan algunas funciones como el $\sin(x)$. Pero siempre me pregunto cómo fueron derivados? Cómo es algo como $$\sin(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot(-1)^n = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}\pm\dots$$ derivados, y cómo se utilizan? Gracias de antemano por su respuesta.
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Felix Marin
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La integración por partes: \begin{align} \color{#00f}{\fermi\pars{x}}&= \fermi\pars{0} + \fermi'\pars{0}x + \int_{0}^{x}t\fermi''\pars{x - t}\,\dd t = \fermi\pars{0} + \fermi\pars{0}x + \half\,\fermi''\pars{0}x^{2} +\half\int_{0}^{x}t^{2}\fermi'''\pars{x - t}\,\dd t \\[3mm]&=\cdots= \color{#00f}{\fermi\pars{0} + \fermi\pars{0}x + \half\,\fermi''\pars{0}x^{2} + \cdots + {\fermi^{{\rm\pars{n}}}\pars{0} \over n!}\,x^{n}} + \color{#f00}{{1 \over n!}\int_{0}^{x}t^{n}\fermi^{\rm\pars{n + 1}}\pars{x - t}\,\dd t} \end{align}
Esta es la fórmula general para el desarrollo en serie de Taylor:
$$\begin{align} &f(x) \\ &= f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} (x - a)^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n + \cdots \end{align}$$
Usted puede encontrar una prueba aquí
La serie se menciona por $\sin(x)$ es una forma especial de la serie de Taylor, se llama la serie de Maclaurin, centrado $a=0$.
La serie de Taylor es una muy potente, porque muestra que cada función puede ser representada como un infinito polinomio (con un par de descargos de responsabilidad, tales como el intervalo de convergencia)! Esto significa que podemos diferenciar una función tan fácilmente como podemos diferenciar un polinomio, y podemos comparar las funciones mediante la comparación de su serie de expansiones.
Por ejemplo, sabemos que la serie de Maclaurin de expansión de $\cos(x)$ $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$ y sabemos que la expansión de la $\sin(x)$$x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}\dots$. Si hacemos término por término de diferenciación, claramente podemos confirmar que la derivada de $\sin(x)$ $\cos(x)$ mediante la diferenciación de su serie.
También podemos utilizar la serie de Maclaurin para demostrar que $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ e lo $e^{\pi i}+1=0$ a partir de la comparación de la serie:
$$\begin{align} e^{ix} &{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt] &{}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt] &{}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt] &{}= \cos x + i\sin x \ . \end{align}$$
También, usted puede utilizar los primeros términos de la expansión en series de Taylor para aproximar una función si la función está cerca del valor en el que se centra la serie. Por ejemplo, utilizamos la aproximación $\sin(\theta)\approx \theta$ a menudo en las ecuaciones diferenciales para valores muy pequeños de $\theta$ tomando el primer término de la serie de Maclaurin para $\sin(x).$
Brad
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Bien, lo que realmente quiero hacer es aproximar una función de $f(x)$ alrededor de un valor, $a$.
Vamos a llamar a nuestra serie de Taylor $T(x)$. Naturalmente, queremos que nuestra serie exacta de $f(x)$ al $x = a$. Para esto, vamos a comenzar nuestro Taylor aproximación con el término constante $f(a)$. Tenemos $$T(x) = f(a)$$ as our first approximation and it is good assuming the function doesn't change much near $$.
Podemos obtener una mejor aproximación de nuestra función tenía la misma pendiente (o derivados) como $f(x)$$x = a$. Queremos $T'(a) = f'(a)$. La mejor manera de lograr esto es para agregar el término $f'(x)(x-a)$ a nuestra aproximación. Ahora tenemos $T(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$. Usted puede verificar que $T(a) = f(a)$ y $T'(a) = f'(a)$.
Si vamos a continuar con este proceso que derivaría de la completa serie de Taylor donde $T^{(n)}(a) = f^{(n)} (a)$ todos los $n \in \mathbb{Z}^{+}$ (n es un entero positivo).
Aquí es donde la serie viene. Si se escribe en notación de sumatoria de llegar a lo que Juan Sebastián Lozano Muñoz publicado.
Juan Sebastian Lozano Muñoz
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Como usted dijo, la serie de Taylor se quiere representar algo de la función, vamos a llamar a $f(x)$. A menudo tenemos funciones, como la $\sin(x)$ o $\log(x)$, que tienen un par de fáciles de calcular el punto cerca de donde queremos calcular el valor, y es a menudo útil a la aproximación de las cosas, y así nos puede venir para arriba con un método de aproximación para $f(x)$.
Vamos a algún punto de $a$ estar cerca de nuestra deseada $x$ del valor, si es fácil de calcular, a continuación, una aproximación fácil para $f(x)$ simplemente se $f(a)$. Sin embargo puede que quiera saber un poco más de exactitud de lo $f(x)$ es, y entonces lo que hacemos es tomar nuestra primera derivada en $a $, $f'(a)$, y el uso que a medida que nuestro coeficiente, para una aproximación polinómica: $$f(a) + f'(a)(x-a)$$ where instead of $x$, we use the difference between $x$ and $$.
La fórmula general para una expansión en series de Taylor de $f(x)$ si $f$ es infinito diferenciable es la siguiente: $$f(x) = \sum\limits^{\infty}_{n = 0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$$ donde $a$ es el punto de aproximación.
La razón de esto tiene que con el poder de la serie, debido a que la serie de Taylor es una potencia de la serie, así como nuestras aproximaciones. A ver, si vamos a llevar a cabo nuestra aproximación más y más (en cantidad infinita de veces), estaríamos acercando más y más a la función real, hasta que (en el infinito) que hacemos. La serie de Taylor es muy importante en matemáticas y en campos de aplicación, ya que aborda algunas propiedades fundamentales de la función, así como proporciona una sorprendente aproximación de la herramienta (como polinomios son más fáciles de calcular que casi cualquier otra de las funciones).
Si quieres saber más, aquí hay algunos recursos:
- MIT cubre de alimentación de la serie y la serie de Taylor en este módulo de su sola variable curso de cálculo
- Khan Academy tiene una serie (juego de palabras) en serie de Taylor.
- estas Matemáticas. SE pregunta a hablar más sobre las aplicaciones de las series de Taylor.
Soke
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Otra manera de utilizar la serie de Taylor que siempre me ha gustado, usando la definición de derivada para demostrar que $$\frac{d}{dx} e^x = e^x.$$
La definición es $$\lim \limits_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h},$$
Que es igual a
$$\lim \limits_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}.$$
Si podemos demostrar que $\lim \limits_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$, vamos a estar en casa gratis. Aquí es donde Taylor/la serie de MacLaurin de venir. Sabemos que $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$, por lo que podemos sustituir:
$$\lim \limits_{h \to 0} \frac{-1 + 1 + h + \frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \dots}{h}$$
$$\lim \limits_{h \to 0} \frac{h + \frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \dots}{h}$$
$$\lim \limits_{h \to 0} 1 + \frac{h}{2!} + \frac{h^2}{3!} + \dots$$
$$ = 1$$
