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Dado$A^2 = A - I$ encuentra$A^{15}$

Debemos encontrar la matriz A tal que $A^2 = A - I$ encuentre $A^{15}$ . Resolví esto observando el patrón al elevar A a diferentes potencias hasta 6 y me di cuenta de que $A^{15} = -I$ . Sin embargo, no estoy seguro si este es el método correcto o si el resultado es correcto.

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PS

Por lo tanto $$A^2 = A - I\implies A^3= A(A^2) = A(A-I)= A^2-A=A-I-A=-I$ $

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Saucy O'Path Puntos 233

Puedes hacer una división larga del polinomio $x^{15}$ por el polinomio $x^2-x+1$ y obtendrás polinomios $q(x)$ y $r(x)$ tal que $x^{15}=(x^2-x+1)q(x)+r(x)$ . Esto se traduce en una identidad $$A^{15}=(A^2-A+I)q(A)+r(A)=0q(A)+r(A)=r(A)$ $

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Rybin Dmitry Puntos 66

Podemos observar que $A^3 + I = (A^2 - A + I)(A + I)$ , y por lo tanto $A^{15} + I = 0.$

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yurnero Puntos 2423

Puede verificar si la observación es correcta: $$ A ^ 6 = A ^ 4 (AI) = A ^ 5-A ^ 4 = A ^ 3 (AI) -A ^ 4 = -A ^ 3. $$ Y así $$ A ^ {15} = A ^ 6A ^ 6A ^ 3 = -A ^ 6A ^ 6 = -A ^ 3A ^ 3 = A ^ 3 = A (AI) = A ^ 2-A = AIA = -I. $$

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