Integración del contorno - integral definida?

Question

Me ha resuelto esta cuestión y había probar como se muestra ... tengo forma similar ... pero no obtener respuesta correcta.. aquí está la pregunta:

Aquí está mi trate de :

¿Alguien puede decirme dónde está mi error ... voy a estar agradecido si tengo ayuda aquí:)

Answer 1

Elige las ramas de $\sqrt z$ e $\ln z$ correspondiente a $\arg z \in [0, 2 \pi)$. A continuación, $\sqrt {-i} = e^{3 \pi i/4}$, $\ln(-i) = 3 \pi i/2$, y, la fijación de la errata en el $\ln x$ plazo, se obtiene $$\int_0^\infty \frac {2 \ln^2 x + 4 \pi i \ln x - 4 \pi^2} {\sqrt x \, (1 + x^2)} dx = 2 \pi i \left( \frac {\ln^2} {\sqrt i} \operatorname*{Res}_{x = i} \frac 1 {1 + x^2} + \frac {\ln^2(-i)} {\sqrt {-i}} \operatorname*{Res}_{x = -i} \frac 1 {1 + x^2} \right) = \\ -\frac {\left( \frac 5 2 + 2 i \right) \pi^3} {\sqrt 2}.$$ Acaba de tomar las principales ramas y elegir un ojo de la cerradura de contorno, evitando $(-\infty, 0]$. Usted obtendrá $$\int_{-\infty}^0 \frac {2 \ln^2 |x| - 2 \pi^2} {i \sqrt{|x|} \, (1 + x^2)} dx = 2 \pi i \left( \operatorname*{Res}_{x = -i} + \operatorname*{Res}_{x = i} \right) \frac {\ln^2 x} {\sqrt x \, (1 + x^2)},$$ que es exactamente lo que se requiere para una).