Muestre que$B(X,Y^*)$ y$B(Y,X^*)$ son isomorfos isométricamente.

Question

Si $X$ e $Y$ están normativa espacios después se define. $$B(X,Y)= \{ f:X\rightarrow Y | f :\text{ f is a linear operator and bounded }\}$$

$X^*= \{f:X \rightarrow \mathbb{R} | \text{ f is a linear operator and bounded }\}$

Sólo sé Hanh-Banach Teorema. Y no sé cómo empezar, incluso. Algo que me confundan es cómo enviar las funciones que enviar un vector en un funcional lineal en una función que enviar un vector en una funcional.

Esto parece super duro. ¿Cómo debo pensar acerca de esto?

Answer 1

Dado un operador delimitado $T:X \to Y^{*}$ defina $S: Y \to X^{*}$ por $(Sy)(x)=(Tx)(y)$ . Es bastante habitual que se trate de un isomorfismo isométrico. Estaré encantado de proporcionar detalles si te quedas atascado.

Answer 2

Sigue a tu nariz. Queremos definir una isometría $\Phi:\mathcal{B}(X,Y^*)\to \mathcal{B}(Y,X^*)$, ¿verdad? Así que tome $T:X\to Y^*$. Queremos definir $\Phi(T):Y\to X^*$. Esto significa que tengo que decirle a usted lo que es el elemento $\Phi(T)(y)\in X^*$. En otras palabras, tengo que decirle a usted lo que es el escalar $\Phi(T)(y)(x)$. Pero con los ingredientes $T$, $y$ e $x$ tenemos, la única opción razonable es $$\Phi(T)(y)(x)=T(x)(y).$$ Note that the right side is the element $T(x)\Y^*$ applied in the element $s\in S$, so this compiles. Since the expression $T(x)(y)$ is linear in $x$ (because $T$ is linear) and in $s$ (because $T(x)$ is a linear map too), and $T$ and $T(x)$ are continuous, this means that our definition works and the proposed codomain for $\Phi$ es correcta.

La inversa de a$\Phi$ es definido por la misma construcción de conmutación de las funciones de $X$ e $Y$.

Así que lo que queda por hacer es comprobar que $\Phi$ es la norma-preservación. Tenemos $$|\Phi(T)(y)(x)|=|T(x)(y)|\leq \|T(x)\|\|y\|\leq \|T\|\|x\|\|y\|.$$ This shows that $\|\Phi(T)\|\leq \|T\|$. La otra desigualdad es similar.