Demuestre que el número$3^{3^n} + 1$ tiene al menos$2n + 1$ de factores primos.

Question

Para cualquier natural $n,$ demostrar que $3^{3^n} + 1$ tiene al menos $2n + 1$ factores primos.

Mi idea era usar la inducción:

• para $n = 1$: $$f(1) = 3^3 + 1 = 28 = 7*2^2$$
• deja de ser cierto para $n = k$, entonces para $n = k + 1$: $$f(k + 1) = 3^{3^{k + 1}} + 1 = 3^{3*3^k} + 1 = (3^{3^k} + 1)(3^{2*3^k} - 3^{3^k} + 1) = f(k)\times(3^{2*3^k} - 3^{3^k} + 1)$$

Ahora tengo un problema: cómo probar que $(3^{2*3^k} - 3^{3^k} + 1)$ no es un número primo?

O, si es más difícil que para solucionar el problema original, por favor, dar una pista de donde volví por el camino equivocado.

Answer 1

PS

Answer 2

Tenemos: $$3^{2\cdot3^k} - 3^{3^k} + 1=(3^{3^k}+3^{\frac{3^k+1}{2}}+1)(3^{3^k}-3^{\frac{3^k+1}{2}}+1)$ $ Y para $k>0$ ambos factores son mayores que uno. Esta factorización se puede deducir del hecho de que $f(2)=387400807=19441\cdot19927$ y de que ambos factores están cerca uno del otro.